Décimo aniversario de la Revista Avances de Investigación en Educación Matemáticas - AIEM

www.aiem.es 

En 2012 se inició la publicación de AIEM www.aiem.es como revista de investigación de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática www.seiem.es, de la que me cupo el honor de ser su primer editor, con un magnífico equipo de compañeros de la sociedad.

Desde entonces se ha mantenido ininterrumpidamente gracias a la colaboración de excelentes investigadores que han participado como editores, revisores, autores o, simplemente, citando la revista en sus trabajos. Este año celebramos su décimo aniversario lo que es un motivo de alegría.

La revista ha crecido en estos últimos años gracias al buen hacer de Nuria Planas de la Universidad Autónoma de Barcelona, como editora. Estoy seguro que la revista seguirá creciendo como referencia internacional en la investigación en educación matemática, en esta nueva etapa que tendrá a Ceneida Fernández, de la universidad de Alicante, como editora principal.

En el número 20, publicado este mes, Nuria Planas, publica un editorial a modo de conmemoración y sobre el significado de la revista en nuestro ámbito científico.

Clasificando actividades matemáticas 22.

Problemas en contextos cualitativos - 2.

En la entrada anterior propuse el problema de la ¿lámina cuadrada? como ejemplo de problema cualitativo. 

¿Se expresan bien Abel y Helia?

Lo tuiteé y voló por la red generando numerosos hilos de diálogo, todos interesantes. Para mí, fue una sorpresa tanta y tan buena acogida.

Era uno de los problemas que he propuesto en numerosos cursos a profesores, en formación o en activo (Blanco, Cárdenas, Gómez y Caballero, 2015). Lo interesante del problema es el diálogo que se desarrolla en el aula, por parte de profesores y estudiantes, y el mostrar que en un problema de matemática no tiene porqué haber algoritmos o fórmulas y cálculo aritmético.

Insisto en la importancia del análisis del discurso en el aula (de profesores y estudiantes) en el momento de justificar sus respuestas que se relacionan directamente con los conceptos relativos a la clasificación de los cuadriláteros y sus relaciones. Las respuestas de los estudiantes están inducidas por el discurso de los profesores porque, inconscientemente, decimos cosas que no debiéramos.

Así, por ejemplo, podremos oír sobre la lámina del problema.

“Si tiene los lados iguales no podemos decir que sea un cuadrado porque puede ser un rombo”.

Esta expresión, claramente diferencia y excluye los cuadrados de los rombos. Inconscientemente, se olvida que el cuadrado es un caso particular del rombo, en la clasificación que se utiliza mayoritariamente en primaria y secundaria. En cualquier caso, en muy pocas ocasiones se recurre a las definiciones de base para resolver la situación.

Así, las definiciones más usuales en los libros de textos son inclusivas y señalan:

Cuadrado: cuadrilátero con lados y ángulos iguales. O, cuadrilátero con lados y iguales y cuatro ángulos rectos.

Rombo: Cuadrilátero con cuatro lados iguales.

Consecuentemente: “todos los cuadrados son rombos”, aunque “no todos los rombos son cuadrados”.

También, en el diálogo en el aula, al resolver el problema aparece la expresión:

“Si tiene las diagonales iguales no podemos decir que sea un cuadrado porque también podría ser un rectángulo”.

En este segundo razonamiento excluimos al cuadrado como un caso particular del rectángulo, cuando en las definiciones usuales de los libros de texto lo incluye.

Rectángulo: Cuadrilátero (o paralelogramo) con cuatro ángulos rectos.

La referencia a las diagonales es, también, curiosa. Normalmente se olvida que hay otros cuadriláteros que tienen las diagonales iguales. Así, el trapecio isósceles tiene las diagonales iguales. También las tiene algún ejemplo de trapezoide.

 

Todo esto viene provocado por la confusión entre concepto, imagen de un concepto y representación y definición. Pero, esto lo dejamos para otra ocasión (Blanco, 2001).

Clasificando las actividades matemáticas - 21.

Problemas en contextos cuantitativos y cualitativos -1.

Cuando le pedimos a los estudiantes que escriban diferentes enunciados de problemas de matemáticas, lo usual es proponer problemas cuya resolución implique el uso de algoritmos (operaciones aritméticas, ecuaciones, etc.). También, problemas de geometría en referencia al cálculo de longitudes y de superficies, lo que implica el recuerdo y la aplicación de las fórmulas. En algunas ocasiones, el uso de los algoritmos es inmediato y en otras implica una lectura comprensiva del enunciado. Os dejo un problema sobre las edades de dos hermanos, un poco diferente a lo usual.

“Adrián nació el 16 de setiembre de 2019 y Daniel el 24 de marzo de 2021. ¿Cuántos años tiene más Adrián que Daniel?, ¿Cuántos meses tiene menos Daniel que Adrián?, ¿Cuántos días de diferencia hay entre sus cumpleaños?”.

En numerosos cursos a profesores de matemáticas, en formación o en servicio, he preguntado si es posible enunciar y resolver un problema de matemáticas que no implicara el desarrollo de algoritmos numéricos o algebraicos obteniendo una respuesta negativa en muchas ocasiones.

Para mí, un problema de matemáticas implica la existencia de una cierta dudas en el procedimiento a utilizar y el uso de conceptos y procesos matemáticos, sean numéricos o no (Blanco et al, 2015). Pongo un ejemplo, muy bonito, de un problema de los que yo denomino en contexto cualitativo.

Problema de la ¿lámina cuadrada? 

 

“La resolución de este problema requiere del uso de conceptos matemáticos pero no plantea la aplicación de ningún algoritmo o fórmula, ni la respuesta es un dato numérico. Por ello, cuando planteamos esta actividad preguntamos a los estudiantes para profesores si se trata de un problema de matemáticas, la respuesta es negativa o de duda para muchos de ellos al observar que no hay que aplicar ninguna fórmula o realizar cálculo alguno. Sin embargo, cuando abordamos la tarea, reflexionamos sobre los conceptos implicados, los errores que surgen y la discusión que se genera cambian de opinión puesto que experimentan la necesidad de debatir y reconsiderar su conocimiento matemático sobre los cuadriláteros” (Blanco et al, 2015, p. 88).

Curso semipresencial Rutas Matemáticas con MathCityMap. Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas.

Curso Rutas Matemáticas

Este curso surge a partir del Proyecto Erasmus+ 2019-1-DE03-KA201-060118MaSCE3 (Mathtrails in School, Curriculum and Educational Environments of Europe).

El proyecto MaSCE3 está centrado en el trabajo curricular so
bre rutas matemáticas con dispositivos móviles y utiliza MathCityMap como herramienta principal y dirigido a profesores de Matemáticas interesados en cómo trabajar con rutas matemáticas con dispositivos móviles.

La actividad se estructura en cuatro fases:

• Fase 1: el curso se iniciará con una jornada presencial en cuatro sedes: Gijón, Guareña (Badajoz), Jaén y Santander para establecer las bases didácticas de cómo abordar matemáticas en la calle, fuera del aula, con MathCityMap y se formará acerca de cómo diseñar tareas y rutas matemáticas a través del portal web http://www.mathcitymap.eu (4 horas).

• Fase 2: a partir de la primera fase presencial, los participantes dispondrán de casi tres semanas para diseñar una ruta que se ajuste a los criterios pedagógicos de MCM.

• Fase 3: después de haber diseñado sus rutas, se mantendrá una sesión síncrona online en la que se trabajará acerca de la revisión de las tareas y rutas MCM de manera que se garantice que se ajusten a ciertos criterios como la presencialidad en el lugar donde se ubican las tareas o la actividad matemática contando, midiendo, buscando información, etc.

• Fase 4: Los participantes harán revisiones de tareas por pares (4 horas).

Coordinación Claudia Lázaro del Pozo. Secretaria de Relaciones Internacionales de la FESPM.

Ponentes:

• Beatriz Blanco Otano, profesora de Matemáticas de Educación Secundaria en el IES Eugenio Frutos, de Guareña (Badajoz). Miembro activo de la Sociedad Extremeña de Educación Matemática Ventura Reyes Prósper. Participa en el grupo de la FESPM sobre Rutas Matemáticas. Es autora de rutas MCM y pertenece al equipo de revisores de tareas y rutas.

• Juan Antonio Espinosa Pulido, profesor de Matemáticas de Educación Secundaria en el IES Catalina de Alejandría (Jaén). Delegado Provincial de la SAEM Thales Jaén desde 2015. Participa en el grupo de la FESPM sobre Rutas Matemáticas. Es autor de rutas MCM y pertenece al equipo de revisores de tareas y rutas.

• María Claudia Lázaro del Pozo, profesora de Matemáticas de Educación Secundaria en el IES Santa Clara (Santander) y profesora asociada en la Universidad de Cantabria, donde imparte docencia en el Máster en Formación del Profesorado de Educación Secundaria. Es socia fundadora de la Sociedad Matemática de Profesores de Cantabria (SMPC) y Secretaria de Relaciones Internacionales de la FESPM, siendo persona de contacto de la Federación en el proyecto europeo MaSCE3 .

• Juan Martínez Calvete, profesor de Matemáticas de Educación Secundaría, actualmente en el IES Rosario Acuña (Gijón, Asturias). Vicepresidente de la FESPM. Presidente de la Sociedad Madrileña de Profesores de Matemáticas Emma Castelnuovo, de 2005 a 2018. Participa en el grupo de trabajo de la FESPM sobre Rutas Matemáticas y es autor de rutas MCM.

“Tenía un profesor que sabía muchas matemáticas, pero no sabía enseñarlas”.

Hace unos días @druizagulera y @pbeltranp interrogaban si para ser buen profesor de matemáticas basta con saber muchas matemáticas. Mi respuesta fue trivial:

Conocimiento del profesor de Matemática.

“Para ser un buen profesor de matemáticas es condición necesaria saber matemáticas, pero no es condición suficiente”.

Esta frase la utilizaba, frecuentemente, cuando impartía cursos y talleres sobre la formación del profesor de matemáticas. Y la ponía acompañada de una expresión popular que he oído, y sigo oyendo, muy a menudo:

“Tenía un profesor que sabía muchas matemáticas, pero no sabía enseñar matemáticas. Creo que por eso no me gustan".

 

Obviamente, caracterizar el conocimiento profesional del profesor de matemáticas no es un tema baladí. Ello implica ponernos de acuerdo en ¿Qué es un buen profesor? ¿Qué son las matemáticas? ¿Qué matemáticas debemos enseñar? ¿Para qué enseñar matemáticas en el siglo XXI?, etc. Preguntas que debemos hacernos e intentar contestarnos con honestidad para ejercer la actividad docente con cierta ética y alguna garantía de éxito.

Si en algo estamos ya de acuerdo todos los investigadores en la formación de profesores de matemática es que el conocimiento profesional del profesor es un conocimiento especializado, relacionado con el contexto escolar donde lo va a desarrollar y construido a partir de múltiples conocimientos y experiencias personales, no solo de matemáticas. Es evidente, que este conocimiento profesional es diferente del conocimiento matemático que necesita un estadístico o un ingeniero.

Afortunadamente, en la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (www.seiem.es; https://aiem.es/) existe un grupo de investigación (Conocimiento y Desarrollo Profesional del Profesor) integrados por investigadores españoles en el campo de la Didáctica de la Matemática que han escrito mucho y bien acerca del conocimiento del profesor de matemáticas (Pedagogical Content Knowledge – Conocimiento Didáctico del Contenido y Mathematical Knowledge for Teaching - Conocimiento Matemático para la Enseñanza - MTK) y, también, sobre los problemas de la formación del profesor de matemáticas, tanto en primaria como en secundaria. En estos trabajos también se realizan propuestas específicas sobre contenidos, trayectorias profesionales, tipos de tareas, etc. que favorecen el

"Enseña Matemáticas"      "Aprender Matemáticas"      “Aprender a Enseñar Matemáticas”. 

Clasificando las actividades matemáticas - 20.

Supuestos implícitos que bloquean la solución de un problema - 2.

En la entrada anterior (Entrada 19/08/2021) proponíamos un
problema en el que se evidenciaba cómo, en algunas ocasiones, asumimos inconscientemente una condición que no aparece en el enunciado de la tarea. Son los supuestos implícitos que vienen provocados por experiencias previas con problemas similares.

Esta condición asumida, casi siempre sin darnos cuenta, provoca
bloqueos (Entrada 08/11/2018 y 02/05/2021; Entrada 15/05/2021; Entrada 22/02/2019) impidiéndonos resolver el problema.

En esta entrada presentamos un segundo ejemplo sacado de la matemática recreativa.

 

 

Clasificando actividades matemáticas - 19.

Supuestos implícitos que bloquean la solución de un problema -1.

Cuatro triángulos equiláteros con seis palillos.

En ocasiones, cuando abordamos un problema asumimos, implícita e inconscientemente, alguna condición que no aparece en su enunciado o presentación. Esto es así como consecuencia de la experiencia previa al resolver actividades similares a la que se nos propone.

Esta condición asumida, casi siempre sin darnos cuenta, provoca bloqueos (Entrada 08/11/2018 y 02/05/2021; Entrada 15/05/2021; Entrada 22/02/2019) impidiéndonos resolver el problema.

Así, proponemos las siguientes tareas:

“Con seis palillos iguales construir cuatro triángulos equiláteros iguales”.

"Construir ocho triángulos con doce palillos".

"Construir siete triángulos con nueve palillos".

La primera vez que me percaté de la importancia de este tipo de actividades fue con la lectura del trabajo de Borassi (1986) hace ya algunos años y que lo recogí en el libro “Consideraciones elementales sobre la resolución de problemas” (Blanco, 1993).

En estos problemas asumimos implícitamente que tenemos que resolverlos en el plano, cuando esta condición no está ni explícita no implícitamente en el enunciado del problema. Pero, usualmente cuando trabajamos con palillos lo hacemos en el plano, que es lo que condicionará, inconscientemente, nuestra manera de abordar el problema.

La solución en el espacio es trivial, ya que una pirámide triangular y regular tiene cuatro caras triangulares y seis aristas que serían los seis palillos de los que disponemos en la primera tarea.

Los otros dos problemas se los dejo al lector para que los resuelva.

Borasi, R. (1986). On the nature of problems. Educational Etudies in Mathematics, 17. 125-141.

Clasificando las actividades matemáticas.

Clasificando actividades matemáticas 18.

Problemas en contexto realístico y en contexto matemático.

En diferentes publicaciones se hace referencia a los contextos donde se pueden plantear problemas (Blanco et al, 2015 y Díaz y Poblete, 2001) y se diferencia entre los contextos realístico y Matemático.

Supongamos que estamos dando clase en un aula rectangular de la que conocemos que mide siete metros de ancha y 12 de larga. Ello nos da pie a plantear el siguiente problema:

“Calcular el área del aula de clase sabiendo que tiene forma rectangular y sus dimensiones son 7 m. de ancho y 12 m. de larga”.

El problema está contextualizado en una situación reconocible y podría interesarnos sus dimensiones por alguna razón. Es un problema en contexto realístico (que no contexto real).

Podríamos haber planteado un problema puramente matemático cuya resolución es similar.

“Calcular el área de un rectángulo cuyos lados miden 7 m. y 12 m.”

Estaríamos ante un problema planteado en contexto matemático.

La resolución de ambos tipos de problemas es muy similar. En el primer caso, necesita traducir el enunciado a un contexto matemático que viene sugerido en el propio texto del problema. Luego, habrá que recordar y aplicar la fórmula o algoritmo (en este caso la de la superficie del rectángulo) que, a buen seguro, estará en el mismo capítulo donde se ha propuesto la actividad.

Contexto realístico (que no contexto real): “Calcular la capacidad de una piscina rectangular que mide 5 m. de ancho, 10 m. de largo y 2 m. de profundidad.”

Contexto Matemático: “Calcular el volumen de un ortoedro cuyas medidas son 5 m., 10 m. y 2 m.”

Díaz, V.; Poblete, A. Contextualizando tipos de problemas matemáticos en el aula. 
Revista Números 2001, n. 45, pp. 33-41.

Díaz, V.; Poblete, A. Contextualizando tipos de problemas matemáticos en el aula. Revista Números 2001, n. 45, pp. 33-41.

Blanco, L.J.; Cárdenas, J. A. y Caballero, A. (2015). La resolución de problemas de Matemáticas en la Formación Inicial de profesores de primaria,. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Extremadura.

Clasificando las actividades matemáticas 17.

Problemas abiertos y cerrados, definidos y mal definidos, estructurados y mal estructurados, etc.

Pino, J. (2015). Tipos de Problemas.

Cuando hablamos de tipos de problemas aparecen, también, grupos amplios dicotómicos que tiene ciertas conexiones. Así, leemos sobre los problemas abiertos y cerrados, problemas rutinarios y no rutinarios, problemas bien definidos y mal definidos, problemas bien estructurados y mal estructurados.

Problemas abiertos, en este tipo de problemas estarían los problemas en contexto real, investigaciones matemáticas, proyectos, etc., donde los procesos y soluciones no están claramente definidos y necesita de tomar de decisiones durante en diferentes etapas del proceso de resolución de problemas. Problemas cerrados donde el enunciado, proceso de solución y el objetivo/resultado del problema están claramente delimitados. Esto no es óbice para que puedan haber varios procesos de resolución o más de un resultado como en el caso, por ejemplo, de problemas que requieren ecuaciones de segundo grado.

Algunos autores se refieren a los problemas bien definidos o problemas bien estructurados (otros los diferencian) cuando se puede identificar claramente si se ha obtenido la solución del problema. En contraposición, establecer el objetivo del problema formaría parte de los problemas mal definidos o problemas mal estructurados.

En Pino (2015) se escribe: “Los problemas bien estructurados (añado que también los problemas cerrados cerrados) son aquellos que encontramos en los textos escolares donde toda la información necesaria para resolverlos está contenida en el enunciado, las reglas para encontrar la solución correcta son claras y se tienen criterios definidos para verificar la solución; por ejemplo: calcular el volumen de una esfera de radio 5 cm. En el otro extremo están los problemas mal estructurados que son similares a los problemas que nos encontramos en la vida diaria. Se trata de problemas que no presentan una estructura bien definida, y donde la información puede ser insuficiente o excesiva, lo que necesita que sean reformulados. Su resolución requiere diferentes y criterios que deben ser considerados. Por ejemplo: ¿Cuánto cuesta un coche?” (Pino, 2015. P. 189).

Finalmente, quiero añadir una diferenciación entre los problemas abiertos y los bien definidos. Así, los problemas bien definidos pueden ser problema abiertos porque puedan abordarse de diferentes maneras como el problemas "En  un club de ajedrez hay 15 miembros. Si cada uno juega una partida contra cada uno de los demás miembros, ¿Cuántas partidas podrían jugarse?, ¿Cuántas partidas podrían jugarse si hubiera  ´n` jugadores?" que se analizo en la entrada de 04/04/2021, entrada 19/03/2021 y entrada 08/03/2021. También, es verdad que en ocasiones cuando proponemos un problema abierto, como el anterior, en el trabajo en el aula los convertimos en cerrado si le exigimos a los resolutores que lo resuelvan siguiendo una determinada estrategia.

Pino, J. (2015). Tipos de problemas de Matemáticas. En Blanco, L.J. et al, La resolución de problemas de Matemáticas en la Formación Inicial de profesores de primaria, 187-208. Serv. Publ. UEx. Capítulo 12.

Blanco, L.J. et all (2015).

Matemáticas comerciales. Analizar los descuentos y las ofertas para que no nos engañen.

Un descuento interesante, en una oferta muy curiosa,

El 22 de abril de 2019 ya subí una entrada en la que proponía problemas a partir de los descuentos que aparecen en las tiendas, y sobre todo, en las grandes superficies. Usualmente, vemos la palabra oferta y ya aceptamos que el producto está rebajado. No siempre es así. En ocasiones se da un descuento tan sorprendente como el que se muestra en la imagen, tomada de un estante de un centro comercial.

En letras y números, bien visibles, leemos OFERTA 3,15 euros. Pero, cuando observamos el anuncio y vemos el precio anterior nos llevamos la sorpresa que era 3,16 euros. Es decir, el descuento que nos hacen es de un céntimo por unidad. O lo que es lo mismo, el 0,31%.