viernes, 31 de mayo de 2019

El engaño de los espárragos (Rodríguez, 1983) como pretexto para trabajar la relación entre el perímetro y el área.

Rafael Rodríguez Vidal Diversiones matemáticas.
Rodríguez Vidal, Rafael (1983).
Diversiones matemáticas.
Enseñar/aprender a resolver problemas de matemáticas. Un problema interesante de geometría que se puede resolver en diferentes niveles.
Actividades sobre el Modelos General de Resolución de Problemas MGRP (Entrada 14).

EL ENGAÑO DE LOS ESPÁRRAGOS
“Dice una vieja historia que cierto día acercóse un mozo a un vendedor de espárragos en el mercado, y así le dijo:
-     Ved que traigo conmigo este cordel que mide un palmo, y pregunto cuánto me cobraréis por el mazo de espárragos que pueda atar con él.
Pidió el aldeano cinco reales y el mozo se mostró conforme, pagó y se llevó la mercancía. A los dos días se presentó el mozo y dijo:
-         Aquí vengo con este cordón, que mide dos palmos. Os acordaréis que por los espárragos que pude atar con el cordel de un palmo me cobrasteis cinco reales. Así que por el mazo que atemos con este cordón de dos palmos os pagaré diez reales, si lo veis justo.
Aceptó el aldeano, aunque concluida la venta se quedó con una cierta duda de si le habría o no engañado el comprador. (Rodríguez Vidal, 1983, p. 83).

En el libro podréis encontrar algunas cuestiones más acerca del problema, de la relación perímetro y área y superficie y volumen. Ello muestra el interés del problema para la enseñanza/aprendizaje de las matemáticas.
Rodríguez Vidal, Rafael (1983). Diversiones matemáticas. Editorial Reverté, S.A. Barcelona. (P. 83 – 85)

El análisis del enunciado implica comprender que el contenido matemático subyacente al enunciado es trabajar sobre si el doble de la longitud de la circunferencia implica el doble del área del círculo. Este es uno de los errores típicos en la mayoría de los estudiantes y de la población adulta, que asume que el doble del perímetro implica el doble del área que contiene.

El interés de este problema radica en la posibilidad de resolverse en diferentes niveles, lo que permite debatir con los resolutores sobre la importancia de diseñar estrategias de solución de problemas.

En este caso, señalo tres estrategias diferentes.
i.  Manipulativa. Cogemos dos cordeles, uno el doble de longitud que el otro. Atamos lápices con uno y otro cordel y comprobamos si el cordel mayor abarca el doble de lápices que el cordel pequeño. Podemos observar que el segundo cordel abarca más del doble del número de bolígrafos que el primero.
Ello nos mostraría que eran razonables las dudas del aldeano y que le habían engañado.

Longitud de la circunferencia, área del círculo, relación entre perímetro y área
Relación entre la longitud de la
circunferencia y el área del círculo.
ii. Representación gráfica. Dibujamos una circunferencia de radio 4 cm. y en su interior dibujamos dos circunferencias con radio la mitad del radio de la anterior.
La imagen muestra que el círculo mayor es más del doble que el círculo menor.
Ello nos mostraría que eran razonables las dudas del aldeano y que le habían engañado.



Relación longitud circunferencia y área del círculo. Y área y pèrímetro
Relación longitud circunferencia y área del círuclo
iii. A partir del uso las expresiones de la longitud de la circunferencia y del área del círculo comprendido, partiendo de un dato concreto. Por ejemplo, dos cuerdas de longitudes 10 cm. y 20 cm., y calcular las áreas de los círculos respectivos.

iv.  A partir del uso las expresiones de la longitud de la circunferencia y del área del círculo comprendido, pariendo de dos longitudes genéricas L1 y L2.

v. Finalmente, podríamos generalizar la situación para desechar la falsa creencia de que el doble del perímetro implica el doble del área. Para ello, como paso intermedio podríamos poner ejemplo de otras figuras planas.

Bibliografía relacionada:

·   Ball, D.L. y Wilson, S.(1990). Knowing the subject and learning to teach it: Examining assumptions about becming a mathematics teacher. Research report. N.C.R.T.E.
·   Blanco, L. (1996) Aprender a enseñar Geometría. Una experiencia en la formación inicial del profesorado de primaria. Epsilón 34, 47 – 58
·     Contreras, L.C. y Blanco, L.J. (Coords.) (2002). Aportaciones a la Formación Inicial de Maestros en el área de matemáticas: Una mirada a la práctica docente. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Extremadura.
·   Jiménez-Gestal, C. y Blanco Nieto, L.J. (2017). El teorema de PICK como pretexto para la enseñanza de la Geometría con Estudiantes para MaestroRevista Números Vol. 94, 7-21.

miércoles, 22 de mayo de 2019

Empezar por el impuesto o por el descuento. Un problema interesante y una curiosa solución.

Enseñar/aprender a resolver Problemas de Matemáticas.


Actividades sobre el Modelo General de Resolución de Problemas - MGRP.
Segundo paso del Modelo: Diseñar una estrategia de solución.



“En una tienda, me encontré la siguiente situación: me hacían un descuento del 20%, pero, tenía que pagar un impuesto del 15%. El tendero, que es mi amigo, me dio a elegir sobre lo que debería hacer primero. Esto es, debo decirle empezar por el descuento o por el impuesto. Es una decisión importante para la que pido ayuda. ¿Qué me aconsejáis ante esta decisión?”.




No sigas leyendo e intenta resolverlo por tu cuenta. Estas pistas debes considerarlas si lo has intentado o si lo has resuelto.

Es un problema muy interesante que aconsejo resolver teniendo en cuenta los niveles de maduración y conocimiento de los resolutores. Obviamente, podemos considerar una cantidad concreta (por ejemplo 100) y seguir ambas indicaciones para comparar los resultados.
Pero, si ya es un nivel de secundaria, debemos intentarlo con una cantidad general “X”, y volver a realizar los cálculos que se indican.
La solución es elemental.

Os cuento la respuesta de un estudiante de primero de secundaria:
-       Alumno. Profesor, Usted cuando va a comprar ¿qué    situación elige?
-       Profesor. No lo sé. No me he fijado.
-       Alumno. Pues entonces da igual. Porque usted lo sabría.

Es evidente que el alumno ha utilizado el sentido común para resolver el problema.

viernes, 17 de mayo de 2019

¿Puede ser cubierto con 32 fichas de dominó un tablero de ajedrez?

Enseñar/aprender a resolver problemas de matemáticas. Un problema interesante.


Actividades sobre el Modelos General de Resolución de Problemas MGRP (Entrada 13).



El problema que proponemos y analizamos va en la línea del propuesto en la entrada anterior (La isla del tesoro) y el de dividir un triángulo obtusángulo en triángulos acutángulos.

El problema es el siguiente: "Consideramos un tablero de ajedrez que puede ser cubierto con 32 fichas de dominó. Cada ficha cubre exactamente dos cuadros del tablero. Cortamos dos cuadros del tablero dispuestos en diagonal. ¿Puede el nuevo tablero ser cubierto por 31 fichas de dominó?”.

Este problema, y otros varios, se propone y analiza en Blanco (1993, p. 58-61) cuando se habla del modelo general de resolución de problemas y se sugieren algunos procedimientos que ayudan a salir de los bloqueos en los que se encuentran algunos resolutores. Por lo tanto, recomendamos al lector, si no encuentra la solución o simplemente quiere tener referencias para utilizar este problema con sus alumnos acuda al libro y lea la utilizadas que estos problemas tienen para ayudar a los resolutores a aprender a resolver problemas de matemáticas y a los profesores de matemáticas a enseñar a resolver problemas.
Lorenzo J. Blanco Resolución de Problemas
Blanco, L .J. (1993)

Estos dos libros y otros de educación matemáticas podéis encontrarlo clickeando en las pestañas superiores de este blog.

Blanco, L. J. (1993). Consideraciones elementales sobre la Resolución de Problemas. Universitas Editorial. Badajoz. Poner el enlace en el blog.

Blanco, L. J. eta al (2015)

Blanco, L. J.; Cárdenas, J.A. y Caballero, A. (2015). La resolución de problemas de Matemáticas en la formación inicial de profesores de primaria. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Extremadura.


sábado, 11 de mayo de 2019

La isla del tesoro, problema propuesto por G. Gamov.


Enseñar/aprender a resolver problemas de matemáticas.
Actividades sobre el Modelos General de Resolución de Problemas MGRP (Entrada 12).

George Gamow,  Espasa Calpe.
Gamow, G. (1969). Uno, dos, tres, . . . Infinito.Espasa Calpe. Madrid.
Entrada dedicada a Juan Carlos Lozano Hernández, compañero y amigo, seguidor del blog y entusiasta de los problemas de Matemáticas.

En una entrada anterior proponía el problema de “Dividir un triángulo obtusángulo en triángulos acutángulos”. No es fácil y abordarlo suponen en algunas ocasiones algo de ansiedad y abandono de la tarea. Señalaba en la entrada procedimientos que ayudan a abordar estos problemas con esperanza de éxito.
Ahora os voy a dejar dos enunciados de dos problemas preciosos que provocan muchos abandonos en los resolutores, pero que pueden resolverse manejando los heurísticos que se proponen en el primer paso del Modelos General de resolución de problemas (Entrada 1; Entrada 2)

La isla del tesoro (Gamow, 1969, p. 46-49).
El problema se plantea a partir de una bonita historia novelada que transcribo parcial y libremente, para abreviar. “Hubo una vez un hombre joven y aventurero que encontró en los papeles de su bisabuelo un trozo de pergamino que revelaba la situación de una isla desierta que ocultaba un tesoro. Encontrarás una pradera con un roble y un pino solitarios y una vieja horca. Para encontrar el tesoro, te sitúas en la horca. Camina hacia el roble contando los pasos, bajo el roble debes girar 90º a la derecha, dar los mismos pasos y clava una estaca en el suelo. Vuelves a la horca y debes caminar hacia el pino, cuenta los pasos, girar a la izquierda 90º, dar los mismos pasos y clavar otra estaca. En el punto medio de las dos estacas encontrarás el tesoro.
Las instrucciones eran claras por lo que el joven encontró la isla, la pradera, el roble y el pino, pero la horca ya no estaba. Había pasado mucho tiempo.
Es una pena que el joven no hubiera sabido algo de resolución de problemas de matemáticas porque habría podido encontrar el tesoro fácilmente”.
Gamow, G. (1969). Uno, dos, tres, . . . Infinito. Espasa Calpe. Madrid.

Alguna pista: En ocasiones nos quedamos parado esperando que nos venga la inspiración o, como se dice, “que se encienda la bombilla”. Eso no es buena idea. Por el contrario, hay que buscar alguna representación, intentar algún procedimiento, iniciar el camino como se nos indica, etc. En ocasiones sirve para encontrar la solución y, en cualquier, caso ayuda en el aprendizaje.

Inténtalo y si tienes alguna duda busca el libro o ha un comentario.

domingo, 5 de mayo de 2019

La Revista Números edita el número 100. Gracias por vuestra contribución a la Educación Matemática



Enhorabuena a la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas, "Isaac Newton".
Revista Números, Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas
Revista Números, índice del nº 100.
Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas


"Números ha ido evolucionando y ha sabido adaptarse a los cambios que durante todo este tiempo se han ido produciendo. Su hemeroteca se ha convertido en un buen registro de los cambios que la educación matemática ha vivido. Pero ha tenido la capacidad de evolucionar sin perder de vista su fundamento original."  (Números, 100, Editorial).


Somos muchos docentes e investigadores en educación matemática que nos sentimos orgullosos de haber colaborado con la revista y, sobre todo, de la amistad con tantos buenos profesores canarios que la han hecho posible. Enhorabuena y gracias por invitarme a participar en este número extraordinario.


En mi aportación realizo un recorrido por la historia de los grupos de profesores de matemáticas en los últimos 40 años, donde la contribución de la SCPM ha sido fundamental.


Blanco, L. J. (2019). Profesores de Matemáticas en España. Una historia de 40 años. Revista Números, 100, 25-28,


Blanco, L. J. (2019). Profesores de Matemáticas en España.
Una historia de 40 años. Revista Números, 100, 25-28,