Recursos manipulativos para la enseñanza de la Geometría en Primaria. El Tangram.

El Tangram Chino es un recurso motivador y de 
interés en la enseñanza de la  Geometría escolar, y también para actividades de cálculo, en primaria. Os dejo algunos ejemplos.

El Tangram (Geometría. Entrada 2).

Las siete figuras que componen El Trangram nos permiten realizar numerosas composiciones figurativas que podemos utilizar en la enseñanza de las Matemáticas, tanto en Geometría como en aritmética.

Tangram. Lorenzo J. Blanco

https://maniasmatematicas.blogspot.com/

Existen diferentes tipos de Tangram que daremos a conocer en sucesivas entradas. En esta entrada tomaré como base el que utilizó Elffers Joost, en su libro “El tangram: Juegos de formas chino” (Joost, E. 1993), que aparece en la imagen.

Tangram.Lorenzo J. Blanco.
https://maniasmatematicas.blogspot.com/

Probablemente sea uno de los recursos más conocidos para la enseñanza/aprendizaje de la Geometría en Primaria, pero poco utilizado en el aula como recurso.





Os dejo dos actividades para el cálculo con fracciones o el de áreas y perímetros que desarrollaba y que os traslado para ser utilizadas en el aula.

Actividades de fracciones con Tangram. Lorenzo J. Blanco https://maniasmatematicas.blogspot.com/ 

Actividades de cálculo de área y perímetro con el Tangram.
Lorenzo J. Blanco. https://maniasmatematicas.blogspot.com/ 

Bibliografía básica que utilicé y que sigue teniendo total validez, a pesar de los años transcurridos.

Albaiges (1981). ¿Se atreve Usted con ellos? Marcombo. p.45-47.

Alsina, C.; Burgues, C. Y Fortuny, J. (1988). Materiales para construir la Geometría. Síntesis. Madrid. p.64-65 (Diferentes tipos de tangram).

Arrieta (1995). Los procedimientos en Geometría. Uno nº 3, p. 18.

Cascallana, M.T. (1988). Iniciación a la Matemática. Materiales y recursos didácticos. Santillana. Madrid.

Elffers, J. (1982). Juego de formas chino: Tangram. Labor. Barcelona.

Llibre, J. (1977). El tangram de los ocho elementos. Barral. Barcelona.

Enseñar/aprender a resolver Problemas de Matemáticas. Un caracol subiendo una pared de cinco metros.

Actividades sobre el Modelo General de Resolución de Problemas - MGRP (Entrada 5).
Primer paso del Modelo: Leer comprensivamente el enunicado, analizar/imaginar/representar la situación descrita en el enunicado, etc.

Enunciado del Problema del Caracol.
Blanco, L.J. (1993) y Blanco et al (2015)

El problema del caracol subiendo una pared de cinco metros es un nuevo ejemplo de enunciado para ayudar a los estudiantes a comprender la importancia de analizar las situaciones o leer comprensivamente los enunciados de los problemas.

Este enunciado va en la línea de los presentados en la Entrada 2 y Entrada 3.

Es muy frecuente que al leer este enunciado se asuma rápidamente que la solución sería cinco días. Cada día sube dos metros y baja uno por la noche, es decir a metro por día. Pero el problema planteado requiere una lectura tranquila, un análisis más certero y una representación real de la situación que se describe.
Quiero resaltar que para comprender el enunciado es muy importante imaginarse la situación que se describe. Por ello, es muy conveniente y útil ayudarse de una representación o de un dibujo o, ya que ahora es posible, de una animación.

 

Sale del suelo. El primer día sube dos metros y baja un metro.

El segundo subirá a los tres metros, pero bajará uno por lo que se situará en el metro 2.

El tercer día subirá al metro cuatro y bajará al tercero.

El cuarto día parte del metro tres, y al subir dos metros llega al final (cinco metro) de la pared, que era lo que señalaba el problema.

En cuatro días llegará a los cinco metros.

Vídeo con una presentación para visualizar la solución del problema

Este problema aparece enunciado en los dos libros siguientes que podréis bajaros cliqueando en los títulos o en la pestaña de "Libros y capítulos de libros" en la parte superior de este blog:

Blanco, L.J.; Cárdenas, J.A. y Caballero, A. (2015). La resolución de problemas de Matemáticas en la Formación Inicial de profesores de primaria. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Extremadura. p. 116.

Blanco, L.J. (1993). Consideraciones elementales sobre la resolución de problemas. Universitas Editorial. Badajoz. p. 64.

El problema del caracol viene enunciado en el libro de Mariano Mataix Lorda, Cajón de sastre matemático (nº 44, p, 73).

Enseñar/aprender Geometría en Primaria y Secundaria.

Recursos manipulativos y/o actividades para la enseñanza de la Geometría.
El libro de espejos (Geometría. Entrada 1).

Nos encontramos en el siglo de la tecnología digital y su uso en la enseñanza es necesario. No podemos luchar contra los elementos. No obstante, en los primeros niveles de educación, el uso de materiales y actividades manipulativas sigue siendo fundamental.

Utilizando plastilina con el libro de espejos.

Se asume que el pensamiento concreto es el mecanismo de aprendizaje en Infantil, Primaria y en muchos estudiantes de Secundaria.

Lo concreto son los objetos observables y manipulables, lo que impresiona los sentidos (vista, oído, tacto, gusto y olfato) y que nos invita a actuar. 

Interés de los materiales y recursos didácticos

El desarrollo de las capacidades en los niños supone el paso de etapas intuitivas y concretas a las de operaciones formales. Hay que partir de lo tangible y de las acciones con los objetos para ir sustituyéndola, paulatinamente, por símbolos y acciones interiorizadas que nos ayudaran a adentrarnos en el mundo simbólico y conceptual de las matemáticas. Esto no es algo nuevo, pero se olvida, o parece olvidarse, cuando se trabaja en las aulas de primaria y secundaria.

Iniciamos hoy diferentes entradas sobre materiales manipulativos que utilicé con mis estudiantes y que tienen interés para la enseñanza/ aprendizaje de la Geometría escolar.

El libro de espejos.

El libro de espejos está formado por dos espejos iguales unidos por uno de sus lados con algún material flexible como cinta aislante, que permita su movilidad para abrirse o cerrarse. Luego, como se muestra en las imágenes podremos utilizar figuras en el plano o en el espacio.

¿Qué figura debemos colocar en el centro del libro de espejos para reproducir una pirámide o un prisma hexagonal? 

Figuras en el plano, simetría, ... Geometría con espejos.

Bibliografía sobre el uso de espejos en la enseñanza de la Geometría.

La bibliografía es la que utilicé en su momento y, aunque es de hace algunos años, sigue siendo completamente válida. Es evidente que si buscáis en la red encontraréis múltiples documentos y vídeos.

Alsina, C; Pérez, R y Ruiz, C. (1989).  Simetría dinámica. Síntesis.

Alsina, C. y Fortuny, J.M. (1992). Miralandia. Un viaje geométrico al país de los espejos. Proyecto Sur ed. Granada.

Bermejo, A. (2002). El libro de los espejos. Aplicaciones didácticas. Suma 41. 83-92:

Brihuega, J. (Coord.) (1995). Guía de recursos didácticos. Matemáticas. Secundaria Obligatoria. MEC. Madrid.

Hernan F. Y Carrillo, E. (1988). Recursos en el aula de Matemática. Síntesis. Madrid.

Enseñar/aprender a resolver Problemas de Matemáticas. Problemas contextualizados en Badajoz. Actividades sobre el Modelo General de Resolución de Problemas - MGRP (Entrada 4).

“Una buena alfabetización matemática debiera permitirnos analizar y comprender situaciones, organizar la información, describir fenómenos, generalizar procedimientos, … Estas capacidades son objetivos en todas las propuestas curriculares y como tal deben ser objeto de trabajo escolar desde los primeros niveles de enseñanza. Son, además, referencias básicas en el primer paso necesario para la resolución de problemas y para tomar decisiones ante los problemas de Matemáticas y en la vida cotidiana”, (Blanco y Blanco, 2009).

Blanco, B. y Blanco, L.J. (2009). Contextos y estrategias en la resolución de problemas de primaria. Numeros 71, 75 – 85. (Haz clic en el texto)
(en la pestaña de artículos de este blog podéis bajaros este artículo y otros similares)

Propongo cinco ejemplos de problemas, contextualizados en Badajoz, para los niveles de primaria. Son enunciados curiosos y provocadores para que los niños fijen su atención en el enunciado antes de decidir qué operación o proceso van a realizar.

Estos cinco problemas son enunciados similares a los propuestos en las dos entradas anteriores (MGRP, Entrada 2 y MGRP, Entrada 3):

Problema 1:” "Hay 400 metros desde la Catedral hasta el Museo de Bellas Artes. Y 650 metros desde el Museo hasta el Puente Viejo. Calcula la distancia desde la Catedral hasta Museo de Bellas Artes".

Muchos niños suman estas cantidades. Y algunos lectores ya lo habrán hecho.

Blanco, B. y Blanco, L.J. (2009).
Contextos y estrategias en la resolución de problemas
de primaria. Números 71, 75 – 85.

Problema 2: “Si una persona tarda desde la Alcazaba hasta el Fuerte de San Cristóbal 20 minutos andando, ¿cuántos minutos tardarán cuatro personas?”.

Es fácil que los niños multipliquen “20 x 4”, porque la estructura del problema es la típica que se reproduce en los libros de textos para resolverse con el algoritmo (“con la cuenta”) de la multiplicación.

Un problema similar aparece en el texto de Luceño (1986) que os cito:

Luceño, J.L. (1986). El número y las operaciones aritméticas básicas: su psicodidáctica. Marfil. Alicante.

Problema 3: "Luis de Morales tiene 2 euros, Juan Vázquez 3 euros, y Carolina Coronado tiene 1 euro y 50 céntimos. Luis de Morales compra regaliz y se gasta 40 céntimos ¿Cuántos euros tiene Juan Vázquez más que Carolina Coronado?, ¿Cuántos euros le quedarán a Luis de Morales?”.

Problema 4: "“Un automóvil va desde La Alcazaba hasta la Universidad de Extremadura cuya distancia es de 4,7 km. Si consume 8 litros cada 100 km. Si, ¿Cuántos litros gastará en 150 km.?”.

Problema 5: "La calle Santo Domingo tiene dos partes, desde la esquina con Meléndez Valdés hasta la Calle Mallor y desde la Calle Mayor hasta la Plaza de Santo Domingo. La primera parte mide 190 metros. ¿Cuál es la longitud de la calle?".

La experiencia me indica que cuando trabajamos estas actividades en primaria y los lugares y personajes que citamos son cercanos y/o conocidos, los niños se sienten atraídos y motivados. No olvidemos que el objetivo de plantear estas actividades no es hacer ninguna operación sino analizar el texto planteado, para ayudar a los alumnos leer comprensivamente. Es el primer paso para Resolver Problemas de Matemáticas.

Enseñar/aprender a resolver Problemas de Matemáticas. Actividades sobre el Modelo General de Resolución de Problemas - MGRP (Entrada 3).

Analizar los enunciados y situaciones problemáticas requiere, entre otras cuestiones, reconocer los datos, examinar si todos son necesarios y/o suficientes, saber los objetivos de la actividad, escoger los datos necesarios para abordarlos, separar la información que no es necesaria, etc.

En línea con los objetivos anteriores proponemos tres problemas:

Problema: "Rodrigo tiene 2 euros, Miguel 3 euros, y Valle 1 euro y 50 céntimos. Rodrigo compra regaliz y se gasta 40 céntimos ¿Cuántos euros tiene Miguel más que Valle?, ¿Cuántos euros le quedarán a Rodrigo?”.

Problema: "“Un automóvil va de Badajoz a Madrid cuya distancia es de 400 km. Si consume 8 litros cada 100 km, ¿Cuántos litros gastará en 250 km.?”.

Blanco, L.J. (1993).

Consideraciones elementales sobre la RP.

Universitas Editorial. Badajoz.

Problema: "Abel tiene una cuerda compuesta de dos trozos, uno azul y otro rojo. El trozo azul mide 7 metros. ¿Cuál es la longitud de la cuerda?"

 La experiencia me indica que cuando trabajamos estas actividades en primaria, los niños se sienten atraídos y motivados y piden más enunciados como los mostrados en esta entrada y en la anterior. No olvidemos que el objetivo no es hacer ninguna operación sino analizar, en este caso, el texto planteado. Esto es fundamental para que los resolutores de los problemas lean el enunciado comprensivamente antes de decidir sobre una operación/algoritmo/ proceso a seguir.

El lunes que viene tendremos otra entrada.

Enseñar/aprender a resolver Problemas de Matemáticas. Actividades sobre el Modelo General de Resolución de Problemas - MGRP (Entrada 2).

Primer paso del Modelo: Leer comprensivamente el enunicado, analizar la situación presentadas, determinar el objetivo del problema, etc.

Leer compresivamente un problema no es fácil. Analizar los enunciados y situaciones problemáticas necesita de un aprendizaje que puede desarrollarse a partir de determinadas actividades. No basta con decirle a los niños que vuelvan a leer el problema,

Resolución de problemas de matemáticas.
Importancia de enseñar a analizar los enunciados.

Empezaremos por algunos en los niveles de primaria donde podemos, a partir de enunciados curiosos y provocadores, hacer que los niños fijen su atención en el contenido del problema. Es fundamental, hacer actividades específicas que orienten a los niños a una lectura comprensiva.

Problema: "Hay 200 metros de mi casa a la pescadería y 300 metros de la pescadería al colegio. Calcula la distancia de mi casa a la pescadería".

Muchos niños suman las cantidades sin más, pero si paramos la actividad en clase, algunos se darán cuenta del contenido real y, ellos mismos, resolverán bien la situación. Y debatirán sobre lo que ha sucedido en el aula y como se han comportado.

Problema: "Si un niño tarda en ir a la escuela 20 minutos, ¿cuántos minutos tardarán cuatro niños?" (Luceño, 1986).

En este caso, serán varios los niños que multipliquen (20 x 4) porque la estructura del problema es la típica que se reproduce en los libros de textos para resolverse con el algoritmo (“con la cuenta”) de la multiplicación.

Este problema aparece en el texto de Luceño (1986) que os cito:

Luceño, J.L. (1986). El número y las operaciones aritméticas básicas: su psicodidáctica. Marfil. Alicante.

En algunos días propondremos otros ejemplos similares.

Enseñar/aprender a resolver Problemas de Matemáticas. Actividades sobre el Modelo General de Resolución de Problemas - MGRP (Entrada 1)

Reflexiones previas y generales sobre la importancia de trabajar específicamente con el MGRP

En numerosas ocasiones ante profesores de matemáticas, en formación inicial o permanente, he puesto un ejemplo ilustrativo para diferenciar entre problemas de matemáticas y problemas de la educación matemáticas, que me permitía iniciar mi intervención y mostrar la necesidad de enseñar a resolver problemas de Matemáticas en las aulas.

Esto es, incidir en esa perspectiva olvidada que considera la Resolución de Problemas como un contenido específico (Blanco y Cárdenas, 2013 y Cárdenas y Blanco, 2015).

Problema de Matemática

“Calcular/estimar cuantos problemas de matemáticas se les proponen a los estudiantes desde que inician sus estudios en infantil o primaria hasta que terminan el bachillerato”. Si lo intentamos resolver nos llevamos una sorpresa. Si consideramos el número de cursos, las lecciones de Matemáticas por curso en el libro de texto, el número de problemas por tema y el uso de los libros de problemas específicos complementarios, veremos que la cantidad excede en mucho los mil problemas.

Luego, propongo el segundo Problema de la Educación Matemática:

“¿Cómo es posible que después de haberle propuesto más de 1.000 problemas de Matemática a los estudiantes no hayan aprendido a resolver problemas de Matemáticas?”.

El debate consiguiente siempre es vivo y con muchas variables a considerar (problema vs ejercicio, tipos de problemas, factores en la RPM, formatos para presenta los problemas, etc.), pero sirve para comprender, reconsiderar y asimilar la importancia de abordar, de manera urgente, la Resolución de Problemas de Matemáticas como un contenido específico en las aulas de Matemáticas.

Blanco, L.J. y Caballero, A. (2015). Modelo Integrado de Resolución de Problemas de Matemáticas MIRPM. En Blanco, L.J. et al, La resolución de problemas de Matemáticas en la Formación Inicial de profesores de primaria, 109-122. Servicio Publicaciones de la Universidad de Extremadura

Bibliografía:

La Resolución de Problemas como Contenido

Cárdenas, J.A. y Blanco, L.J. (2015). La Resolución de Problemas de Matemáticas como contenido en el Currículo de Primaria. Blanco, L.J. et al, La resolución de problemas de Matemáticas en la Formación Inicialde profesores de primaria, 23-37. Serv. Publ. UEx.

Blanco, L.J. y Cárdenas, J.A. (2013). La Resolución de Problemas como contenido en el Currículo de Matemáticas de Primaria y Secundaria. Campo Abierto 32(1), pp. 137-156.

Bibliografía sobre el Modelo General de Resolución de Problemas

Blanco, L.J. y Caballero, A. (2015). Modelo Integrado de Resolución de Problemas de Matemáticas MIRPM. En Blanco, L.J. et al, La resolución de problemas de Matemáticas en la Formación Inicial de profesores de primaria, 109-122. Servicio Publicaciones de la Universidad de Extremadura.

Pino, J. A. (2013). Concepciones y prácticas delos estudiantes de Pedagogía Media en Matemáticas con respecto a la Resoluciónde Problemas y, diseño e implementación de un curso para aprender a enseñar aresolver problemas. Tesis doctoral Inédita - Universidad de Extremadura, Badajoz, España. Recuperado de: http://dehesa.unex.es:8080/xmlui/bitstream/ handle/10662/568/TDUEX_2013_Pino_Ceballos.pdf?sequence=1.

Caballero, A. (2013). Diseño, Aplicación y Evaluación de un Programa de Intervención en Control Emocional y Resolución de Problemas Matemáticos para Maestros en Formación Inicial. Tesis doctoral Inédita - Universidad de Extremadura, Badajoz, España.