Catedrático de Universidad (Jubilado) de Didáctica de la Matemática. Universidad de Extremadura.

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jueves, 30 de enero de 2020

¿Cuántos triángulos, cuadrados, ... hay en la figura? Un problema de método más que de conteo.


Presentación para el aula https://youtu.be/RPwcGNheUAU
Entre los pasatiempos matemáticos que se proponen en medios de comunicación o revistas de juegos solemos encontrar aquellos en los que aparecen triángulos o cuadrados, y se nos pregunta por el número total que hay de cada uno de ellos.


Era una situación que yo utilizaba en mis seminarios sobre resolución de problemas, pero que planteaba desde otra perspectiva.





Mi objetivo no era contar los polígonos sino que los participantes en el seminario diseñaran un procedimiento que les asegurara que el número de polígonos que dijeran era cierto.

Transformaba, por lo tanto, la situación desde un problema de conteo, a un problema de diseño de la estrategia para resolver un problema.
Mi objetivo no era resolver un problema determinado, si no aprovechar la tarea para enseñar a resolver problemas de Matemáticas.

Evidentemente, lo que se está pidiendo es un método que nos de garantías que nuestro conteo se va a realizar sin dificultad y con seguridad.
Para ello hay que utilizar una notación precisa y olvidarnos de señalar con los dedos o recortar triángulos.
Os dejo dos procedimientos seguros de conteo.




El problema anterior se encuentra publicado en Rivera, J. J. (1981). Comecocos. Tomo I. Ediciones Álamo. Madrid. P. 71.

Algunas otras figuras:




jueves, 16 de enero de 2020

Física recreativa. Arte de hacer diabluras, sin tener pacto con el diablo.


Física recreativa. Arte de hacer diabluras, sin tener pacto con el diablo.

Entre los libros de mi biblioteca retomo este pequeño libro (9 cm x 13,5 cm) que es una propuesta de problemas y experimentos de ciencias y matemáticas, muy interesante.

El autor de la recopilación es D. B. R.. Según indica el libro está corregida y aumentada por un Diógenes moderno, y es la undécima edición. No aparece el año de su publicación, aunque buscando en la red señalan que pudiera ser un libro editado por primera vez en 1867. También aparecen otras ediciones posteriores de 1890.

Además, del prólogo y la introducción el libro tiene cuatro secciones:
1.    Juegos de destreza; 2. Juegos de Naipes; 3. Juegos de Química; 4. Juegos de Cálculo.




Sección Cuarta.
Juegos de Cálculo.










El número 45 (p. 156).
“Se pregunta cómo podrá dividirse el número 45 en cuatro partes, de modo, que añadiendo a la primera parte el número 2, ó restando el 2 de la segunda parte, ó multiplicando por 2 la tercera parte, ó dividiendo la cuarta por 2, la suma de la adición, resto de la sustracción, el producto de la multiplicación y el cociente de la división sean iguales o den por resultado el mismo número.”



Pensad en la solución, porque es interesante reflexionar sobre cómo resolver este problema.


jueves, 2 de enero de 2020

Sobre el comienzo del milenio, siglo o década. Dimensión cultural de la Matemática.

Sobre el comienzo del siglo y del milenio

Publicado en HOY 06/01/2004

Hace algunos días leía una revista cultural extremeña en la que se insertaba un anuncio de una bodega cacereña en el que podíamos leer “2.000 – Cambiamos de milenio”. Este texto me trajo a la memoria el debate que se mantuvo, en los medios de comunicación, acerca de cuando comenzaba el siglo y el milenio. Recordamos que la polémica se producía ya que unos situaban tal fecha de su comienzo el 1 de enero del 2.000, mientras otros la situaban el 1 de enero del 2.001.

El argumento defendido por estos últimos era que el 31 de diciembre de 2.000 se cumplían exactamente 2.000 años desde el primer día de nuestra era. Y como el siglo tiene 100 años una sencilla división nos llevaba a concluir que el primer día del siglo XXI y del segundo milenio sería el primer día de Enero del año 2.001. Y este argumento sería suficiente si no fuera porque las Matemáticas nos permiten realizar los cálculos y nos informan acerca de datos y resultados, pero es a los hombres y a las mujeres a quienes nos toca interpretarlos y, consecuentemente, tomar las decisiones.

Para mí, como profesor de Didáctica de las Matemáticas, siempre me pareció un debate muy interesante porque era un tema específico en el que se pueden apreciar dos aspectos complementarios de las matemáticas: su sentido de herramienta para el cálculo y su dimensión cultural y social.

A cuantos me preguntaban mi opinión les decía que el tiempo nos daría argumentos para poder comprender la raíz de las diferentes posiciones en tal o cual sentido. En aquel momento, se defendían con tanto ardor las tesis de cada cual que el debate nunca entró en la raíz del asunto.

Y ahora con el tiempo transcurrido y en la seguridad de que el tema no levanta las pasiones de entonces, el anuncio mencionado me sugiere la posibilidad de retomar el debate y argumentar a favor de una de las opciones.

Así, al igual que el texto del anuncio los documentos históricos nos muestran referencias de fechas de nacimientos de personajes ilustren que, consciente o inconscientemente, toman partido por una opción determinada. De esta manera, podemos conocer a través de numerosas biografías que el Emperador Carlos V nació en el siglo XVI, al venir al mundo el año 1.500. De igual manera, los manuales de historia de la literatura nos señalan que Pedro Calderón de la Barca, que nació en el año 1.600, lo hizo en el siglo XVII. Y así, podríamos seguir poniendo numerosos ejemplos de referencias históricas que todos hemos aceptado y aceptaremos. Y un ejemplo más cercano en el tiempo lo tenemos en las referencias biográficas de Xavier Cugat que señalan que’nació con el siglo XX’ para significar que nació el 1 de enero de 1900.

Lo mismo podríamos escribir en referencia al milenio. Son numerosas las asociaciones e iniciativas que ahora se anuncian como la bodega cacereña, haciendo coincidir su nacimiento, o algún acontecimiento que deseen resaltar, con el inicio del milenio, situando este en el año 2.000.

Lo tenemos tan interiorizado que si alguna joven madre nos dijera que su hijo ha nacido con el siglo o con el milenio, todos pensaríamos que nació hace tres años. Estaríamos dando por sentado que nació en el 2.000. Y muy pocas personas pensarían, al menos de principio, que nació en el 2.001.

Es algo social y culturalmente aceptado. Es decir, en el campo de la historia, de la literatura, de la música, y en nuestras conversaciones cotidianas optamos por considerar el inicio de los siglos y de los milenios el 1 de Enero de los años múltiplos de 100 o de 1.000. Lo aceptamos así, por múltiples razones. Por comodidad contable, por facilidad para el recuerdo, por estética. Podríamos decir y admitir, incluso, que es un error histórico. Pero es así, va a seguir siendo así y, a la mayoría de la población, nos gusta más de esta manera. Hay que reconocer que resulta más estético y sugerente considerar que el milenio empezó en el año 2000 que en el 2001.

Es verdad que considerar esta opción supone aceptar que el primer siglo de nuestra era sólo tuvo 99 años. Tampoco todos los años tiene los mismos días por lo necesitamos un reajuste entre medición de tiempo y calendario para que nos resulte más cómodo y útil (años bisiestos). Las matemáticas y las ciencias analizan y describen la realidad, y las personas interpretamos y adaptamos la información a nuestras necesidades.

En definitiva, no es la matemática, ni los matemáticos, quienes deciden. Es el hombre quien a la luz de la información y resultados que se obtienen, interpreta y decide la fecha de comienzo del siglo y milenio (en el año 2000 o en el 2001) conociendo la distribución de años en los siglos y milenio anteriores. Pero en esta decisión intervendrán otros muchos factores que hemos aceptado social y culturalmente.