Catedrático de Universidad (Jubilado) de Didáctica de la Matemática. Universidad de Extremadura.

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miércoles, 21 de julio de 2021

Clasificando las actividades matemáticas 17.

Problemas abiertos y cerrados, definidos y mal definidos, estructurados y mal estructurados, etc.

Pino, J. (2015). Tipos de Problemas.

Cuando hablamos de tipos de problemas aparecen, también, grupos amplios dicotómicos que tiene ciertas conexiones. Así, leemos sobre los problemas abiertos y cerrados, problemas rutinarios y no rutinarios, problemas bien definidos y mal definidos, problemas bien estructurados y mal estructurados.

Problemas abiertos, en este tipo de problemas estarían los problemas en contexto real, investigaciones matemáticas, proyectos, etc., donde los procesos y soluciones no están claramente definidos y necesita de tomar de decisiones durante en diferentes etapas del proceso de resolución de problemas. Problemas cerrados donde el enunciado, proceso de solución y el objetivo/resultado del problema están claramente delimitados. Esto no es óbice para que puedan haber varios procesos de resolución o más de un resultado como en el caso, por ejemplo, de problemas que requieren ecuaciones de segundo grado.

Algunos autores se refieren a los problemas bien definidos o problemas bien estructurados (otros los diferencian) cuando se puede identificar claramente si se ha obtenido la solución del problema. En contraposición, establecer el objetivo del problema formaría parte de los problemas mal definidos o problemas mal estructurados.

En Pino (2015) se escribe: “Los problemas bien estructurados (añado que también los problemas cerrados cerrados) son aquellos que encontramos en los textos escolares donde toda la información necesaria para resolverlos está contenida en el enunciado, las reglas para encontrar la solución correcta son claras y se tienen criterios definidos para verificar la solución; por ejemplo: calcular el volumen de una esfera de radio 5 cm. En el otro extremo están los problemas mal estructurados que son similares a los problemas que nos encontramos en la vida diaria. Se trata de problemas que no presentan una estructura bien definida, y donde la información puede ser insuficiente o excesiva, lo que necesita que sean reformulados. Su resolución requiere diferentes y criterios que deben ser considerados. Por ejemplo: ¿Cuánto cuesta un coche?” (Pino, 2015. P. 189).

Finalmente, quiero añadir una diferenciación entre los problemas abiertos y los bien definidos. Así, los problemas bien definidos pueden ser problema abiertos porque puedan abordarse de diferentes maneras como el problemas "En  un club de ajedrez hay 15 miembros. Si cada uno juega una partida contra cada uno de los demás miembros, ¿Cuántas partidas podrían jugarse?, ¿Cuántas partidas podrían jugarse si hubiera  ´n` jugadores?" que se analizo en la entrada de 04/04/2021, entrada 19/03/2021 y entrada 08/03/2021. También, es verdad que en ocasiones cuando proponemos un problema abierto, como el anterior, en el trabajo en el aula los convertimos en cerrado si le exigimos a los resolutores que lo resuelvan siguiendo una determinada estrategia.


Pino, J. (2015). Tipos de problemas de Matemáticas. En Blanco, L.J. et al, La resolución de problemas de Matemáticas en la Formación Inicial de profesores de primaria, 187-208. Serv. Publ. UEx. Capítulo 12.

Blanco, L.J. et all (2015).





miércoles, 7 de julio de 2021

Matemáticas comerciales. Analizar los descuentos y las ofertas para que no nos engañen.

Un descuento interesante, en una oferta muy curiosa,

El 22 de abril de 2019 ya subí una entrada en la que proponía problemas a partir de los descuentos que aparecen en las tiendas, y sobre todo, en las grandes superficies. Usualmente, vemos la palabra oferta y ya aceptamos que el producto está rebajado. No siempre es así. En ocasiones se da un descuento tan sorprendente como el que se muestra en la imagen, tomada de un estante de un centro comercial.

En letras y números, bien visibles, leemos OFERTA 3,15 euros. Pero, cuando observamos el anuncio y vemos el precio anterior nos llevamos la sorpresa que era 3,16 euros. Es decir, el descuento que nos hacen es de un céntimo por unidad. O lo que es lo mismo, el 0,31%.

viernes, 25 de junio de 2021

Clasificando las actividades matemáticas - 16.

 Historias matemáticas - 2


Nos referimos a historias, más o menos completas, en cuyo interior guardan intencionadamente ciertas tareas matemáticas que van provocando la curiosidad y participación del lector. A este respecto libros como Primos o algunos dislates sobre números de S. Thio de Pol (1976) o Las intrigantes aventuras del Doctor Ecco de D. Shasha (1989) o El Didablo de los números de H. M. Enzensberger (1997), son una muestra interesante de como hacer matemáticas partiendo de la lectura.

Así, el primer libro empieza con la historia de un hotel interestelar de infinitas habitaciones, todas ocupadas, al que van llegando diferentes grupos, finitos e infinitos, de nuevos clientes a los que tiene que alojar. Nos permite hablar de los alef o tipos de infinitos, de las aplicaciones, de los números naturales, enteros, … y, debatir sobre si hay más números naturales que números pare o que números racionales, etc. Todo ello partiendo de una historia muy atractiva.

El segundo libro nos cuenta historias del legendario detective matemático Jacob Ecco, que se gana la vida resolviendo problemas que le proponen diferentes personajes de todo tipo y condición, contextualizados en situaciones cotidianas relacionadas con el tráfico, industria, ciudades, etc.

Recuerdo que en algunos cursos propuse a mis estudiantes algunos retos relacionados con las matemáticas como escribir cuentos de contenido matemático o resolver ciertos problemas de matemáticas recreativas (el problema de la semana), y ofrecía como premio el libro El asesinato del profesor de matemáticas de Jordi Sierra i Fabra. Nunca se qué motivaba más a los estudiantes, si el reto o descubrir una forma de cumplir un deseo.

miércoles, 2 de junio de 2021

Clasificando las actividades matemáticas - 15

Historias matemáticas -1.

En ocasiones encontramos en la lectura de cuentos, novelas, etc. algunos comentarios o descripciones que contienen algún concepto matemático.

Así, por ejemplo, del libro de “los viajes de Gulliver", de Jonathan Guis, podemos extraer un párrafo que dice: "Al anochecer, entré con alguna dificultad en mi casa, donde me tendí en el suelo. Así, continué unos quince días, durante cuyo plazo el emperador ordenó que me fabricasen un lecho. Seiscientos colchones de la medida común en el país fueron transportados en carros y colocados en mi casa. Ciento cincuenta de ellos, cosidos entre sí, proveían la longitud y anchura, y, siendo su número el que dije, el colchón resultaba cuádruple, lo que, sin embargo, no dejaba de hacerme sentir la dureza del suelo, que era de piedra bruñida." Dado que en el libro se menciona que la longitud de Gulliver era doce veces la de los liliputienses, y la de éstos, de unas seis pulgadas, esta historia nos proporciona un interesante contexto para plantear diferentes problemas acerca de la altura de Gulliver y de las medidas del colchón construido. En el cuento se habla de medidas inglesas como las yardas, pies y pulgadas, de las que utilizaban los liliputienses como los “drurrs” y los “glumgluffs”. Igualmente, se hacen constantes referencias al tamaño de los pobladores, de las casas, comparaciones de los alimentos, etc., que sugieren problemas de proporcionalidad (Grupo Beta, 1990, p. 138-142).

Son numerosos los textos literarios que podemos utilizar para contextualizar tareas matemáticas, pero en esta entrada quisiera recordar a Lewis Carrol que puso al servicio de la literatura parte de su saber matemático. Recurrir a sus textos es una obligación para todo profesor, de matemáticas o de literatura, puesto que hará las delicias de sus alumnos.

En el capítulo 7 (Una merienda de locos), de Alicia en el País de las Maravilla se establecen diferentes diálogos entre la liebre de Marzo, el lirón, el sombrerero y Alicia divertidos y con mucho sentido lógico.




miércoles, 26 de mayo de 2021

Clasificando actividades matemáticas 14

Problemas de matemáticas recreativas.


Un recurso muy interesante para enganchar a los estudiantes en la resolución de problemas es proponer actividades que permiten mostrar el potencial recreativo de las Matemáticas. Este tipo de problemas permite diferentes presentaciones e invita a considerar diversas formas de atacar el problema. En ocasiones, el contexto y la formulación que se hacen de estos problemas suele ser engañosa, mostrando una parte lúdica que surge de las matemáticas. En otras, su presentación orienta la actividad manipulativa o al juego mental.

Existen numerosos autores y os indico los nombres de algunos de los que he manejado con frecuencia: Martin Gardner, Mariano Mataix, Rafael Rodríguez Vidal, Jose M. Albaiges Olivart, Brian Bolt, Santiago Thio de Pol, Hans Rademacher y Otto Toeplizt, Raymond Smullyan, Yakov Perelman, entre otros.

Desde que inicié el blog he propuesto, en numerosas ocasiones, este tipo de actividades que suelen tener buena acogida entre los profesores, pero que les cuesta trasladarlas al aula, como sería deseable y conveniente.

Os dejo algunos enlaces a estos problemas:

* Expresar del cero al 20 con expresiones con cuatro cuatro.

* El chollo de la parcela.

* Reparto de bocadillos.

* Algunas igualdades curiosas.

* El engaño de los espárragos.

* La isla del tesoro.

* En las entradas desde el 20 de marzo de 2020 hasta el 9 de mayo de 2020, propuse una serie de problemas con el título general de Problemas del Confinamiento que podéis consultar.


sábado, 15 de mayo de 2021

Clasificando las actividades matemáticas 13.

Problemas para ayudar a salir de los bloqueos – 2.

En esta ocasión voy a recordar dos problemas propuestos en dos entradas anteriores a las que remitiré al lector, si quiere profundizar sobre las sugerencias que se realizaron sobre enseñar/aprender a resolver problemas de matemáticas.

El primer problema se refiere a rellenar un tablero de ajedrez con fichas de dominó.

"
Tablero de Ajedrez y 
fichas de Dominó.
Consideramos un tablero de ajedrez que puede ser cubierto con 32 fichas de dominó. Cada ficha cubre exactamente dos cuadros del tablero. Si cortamos dos cuadros del tablero dispuestos en diagonal. ¿Podría el nuevo tablero ser cubierto por 31 fichas de dominó?
”. 

Remito al lector a la entrada de 17 de mayo de 2019, clickeando sobre este texto.


El segundo problema se refiere a La isla del tesoro, propuesto por G. Gamov y que apareció en la entrada de 11 de mayo de 2019.

El problema se plantea a partir de una bonita historia novelada que transcribo parcial y libremente, para abreviar. “Hubo una vez un hombre joven y aventurero que encontró en los papeles de su bisabuelo un trozo de pergamino que revelaba la situación de una isla desierta que ocultaba un tesoro. Encontrarás una pradera con un roble y un pino solitarios y una vieja horca. Para encontrar el tesoro, te sitúas en la horca. Camina hacia el roble contando los pasos, bajo el roble debes girar 90º a la derecha, dar los mismos pasos y clava una estaca en el suelo. Vuelves a la horca y debes caminar hacia el pino, cuenta los pasos, girar a la izquierda 90º, dar los mismos pasos y clavar otra estaca. En el punto medio de las dos estacas encontrarás el tesoro.

Las instrucciones eran claras por lo que el joven encontró la isla, la pradera, el roble y el pino, pero la horca ya no estaba. Había pasado mucho tiempo.

Es una pena que el joven no hubiera sabido algo de resolución de problemas de matemáticas porque habría podido encontrar el tesoro fácilmente”.

Gamow, G. (1969). Uno, dos, tres, . . . Infinito. Espasa Calpe. Madrid.

La isla del tesoro. G. Gamov.


domingo, 2 de mayo de 2021

Clasificando las actividades matemáticas - 12.

Problemas para ayudar a salir de los bloqueos -1. 

Una de las situaciones que produce emociones negativas en los resolutores es cuando se enfrenta a problema y se bloquean al no encontrar como una estrategia que le lleve a la solución. Es frecuente encontrar estudiantes que reinciden en un camino sin avanzar, como si se estuvieran chocando, una y otra vez contra la pared.

Un triángulo obtusángulo en triángulos acutángulos.
Para estos casos, Spyros Kalomitsines, (“Some new ways of
proceeding in problem solving”
; 1985
). Describe dos métodos que denomina The method of description (Método de descripción) y The Method of Getting Out of Loops en los que propone acciones específicas para estas situaciones. Ambos métodos son analizados por L. J. Blanco (“Consideraciones elementales para la resolucion de problemas”; 1993). El objetivo es proporcionar a los resolutores una estrategia concreta que les ayude a salir de los bloqueos, favoreciendo su aprendizaje sobre la resolución de problemas.

En algunos casos, pueden resolverse mediante una chispa o una idea feliz que nos pueda venir sugerida por algún problema anteriormente resuleto. También, en estos casos sugerimos que los problemas a proponer requieran de conceptos o procesos importantes del currículo escolar, y en cuya solución podamos reflexionar sobre las estrategias o los heurísticos para resolver problemas de matemáticas. 

Dividir un triángulo obtusángulo en triángulo acutángulo.

En la discusión que provoca la resolución de los problemas aparecen determinados conceptos relacionados con los enunciados que se reflejan en los currículum escolares.

Triángulo obtusángulo en triángulos acutángulo.


lunes, 26 de abril de 2021

Clasificando las actividades matemáticas 11.

 Problemas de investigación matemática.


Son problemas propuestos en un contexto estrictamente matemático que permiten conocer y/o profundizar sobre los mecanismos internos de las matemáticas. En este tipo de actividades son usuales expresiones como "Probar que . . . "; "Encontrar todos los . . . "; "Para que . . .  es . . . ?", etc.

Dado que los conceptos y procesos que se manejan son puramente matemáticos, lo que implica cierta abstración, estas actividades deben plantease teniendo en cuenta el nivel de maduración de los resolutores. No son tareas que, usualmente, se propongan en los niveles de enseñanza elemental, aunque se pueden adaptar múltiples actividades que permitan sembrar en los estudiantes de primaria ciertas ideas y razonamientos matemáticos.

Podemos incluir referencias a la prueba de una conjetura o la demostración de algún teorema pudiera ser planteada como un problema de investigación. El contexto puede ser en términos de hipótesis de un teorema, a resolver alguna necesidad para algún hecho matemático, o para producir una prueba, o analizar algún texto particular. Veamos tres ejemplo, en este caso algebraicos:

1. “Probar que si a y b son dos enteros consecutivos, entonces a2 + b2 + (ab)2 es un cuadrado perfecto”.





2. "Probar que si los tres términos de una progresión aritmética suman 36, el término del medio vale 12."


3. “Probar que si a, b y c son todos enteros impares, entonces las raíces de ax2 + bx + c = 0, no son racionales”. 


martes, 20 de abril de 2021

Clasificando las actividades matemáticas 10.

Problemas sobre situaciones reales - 2.

En los itinerarios matemáticos que se describen en el libro Mirar la ciudad con ojos matemáticos (Blanco, L.J. 2020), se muestran maceteros que encontramos en calles y plazas, con diferentes formas y tamaños, para contextualizar problemas de matemáticas y, de paso, relacionar la competencia matemática con la educación para la ciudadanía.










Por nuestra parte enunciaríamos las siguientes tareas:


Sugiero, en primer lugar, plantearles a los paseantes preguntas acerca de qué conceptos matemáticos pueden visualizar en los objetos y que, partir de ellos, enuncien problemas matemáticos.


* ¿Qué conceptos, geométricos o no, identificas en los maceteros?

* ¿Qué podemos medir directamente con una cinta métrica o algún aparato?

* ¿Cuál es la superficie de sus caras?

* ¿Cuánto es su volumen? ¿Cuánta tierra vegetal debemos poner en el macetero para plantar los arbustos o cualquier planta?

* ¿Cuánto costará el macetero, la tierra vegetal y el arbusto?

Por supuesto, los resolutores deberán ir con las herramientas de medidas oportunas para poder resolver el problema de forma real.

Blanco, L. J. (2020). Mirar la ciudad con ojos matemáticos. Itinerarios matemáticos por Badajoz. Edita Servicio de Publicaciones de la FESPM. publicaciones@fespm.es