The assessment of Mathematics Problem Solving of Secondary teachers in Colombia.

The assessment of Mathematics Problem Solving of Secondary teachers in Colombia.

Cárdenas,J. A. y Blanco L. J. (2018). La evaluación de la Resolución de Problemas de Matemáticas de profesores de Secundaria en Colombia. Educatio SigloXXI, Vol. 36, nº 3. 123 – 152.

We presented the results of a research to characterize the assessment of the math problem solving (MPS) developed by secondary teachers at Bogotá city (Colombia). These results were obtained by mean of triangulation of the statistical analysis over the answers given by 211 teachers to a questionnaire prepared by autor, and the content analysis of the assessment instruments and the interventions in the discussion groups with which some of these teachers participated.

The triangulation was carried out from the common or similar categories among the different research instruments and allowed us to approach the teachers evaluation practices when they said that they evaluated the MPS. We concluded that there exists certain immobility and insecurity of the Mathematics teachers when addressing the MPS and its evaluation in the classroom justified by the lack of information about this content or other low-cost evaluation instruments and by the lack of materials. This research is part of the research project (MEC18D502), from which a doctoral thesis was  published (http://dehesa.unex.es/handle/10662/2050).

Key words: Problem solving, secondary teachers, assessment, mathematics, assessment task.

Other publications about the same work:

Cárdenas, J.A.; Guerrero, E.; Gómez, R. Caballero, A. y Blanco, L.J. (2011). International Journal of Developmental and Educational Psychology Año XXIII nº 1 Vol. 3. Los sentimientos que afloran en los docentes de Matemáticas de Secundaria en elproceso que llevan a cabo al evaluar el aprendizaje de sus estudiantes, 437 – 444.

Cárdenas, J., ., Blanco, L., Gómez, R., y Guerrero, E., (2012). Resolución de problemas de matemáticas y evaluación: aspectos afectivos y cognitivos. En V., Mellado, L. Blanco, B. Borrachero y  J. Cárdenas J. (Eds.), Las emociones en la Enseñanza y el Aprendizaje de las Ciencias Experimentales y las Matemáticas (pp 67-88). Badajoz: DEPROFE. ISBN: 978-84-15090-10-6.

Blanco, L.J. y Cárdenas, J.A. (2013). La Resolución de Problemas como contenido en el Currículo de Matemáticas de Primaria y Secundaria. Campo Abierto 32(1), pp. 137-156.

Cárdenas, J. A., Blanco, L. J., Gómez del Amo, R. y Álvarez, M. R. (2013). Resolución de problemas de matemáticas y evaluación: aspectos afectivos y cognitivos. En A. Berciano, G. Gutiérrez, A. Estepa y N. Climent (Eds.), Investigación en Educación Matemática XVII, 219-228. Bilbao: SEIEM.

Cárdenas, J.A.; Blanco, L.J.; Guerrero, E. y Caballero, A. (2016). Manifestaciones de los Profesores de Matemáticas sobre sus Prácticas de Evaluación de la Resolución de Problemas Manifestations of Mathematics Professors on their Practices of Problem Solving Assessment. Bolema, Rio Claro (SP), v. 30, n. 55, p. 649 – 669.

Cárdenas, J.A.; Blanco, L.J. y Cáceres, M.J. (2016). La Evaluación de las Matemáticas. Análisis de las pruebas escritas propuestas en la secundaria. Revista Unión, nº 48, 59-78.

La evaluación de la Resolución de Problemas de Matemáticas de profesores de Secundaria, en Colombia

Monográfico de  Educatio Siglo XXI 
dedicado a la Resolución de Problemas de Matemáticas, donde nos publican un nuevo artículo sobre Evaluación.

El Monográfico ha sido coordinado por los profesores Matias Camacho (U. de La Laguna), Manuel Santos (Cinvestad, México) y Rosa Nortes (U. de Murcia).

Cárdenas, J. A. y Blanco, L.J. (2018). La evaluación de la Resolución de Problemas de Matemáticas de profesores de Secundaria en Colombia. The assessment of Mathematics Problem Solving of Secondary teachers in Colombia. Educatio Siglo XXI, Vol. 36 nº 3, 123-152.

Monográfico sobre “Resolución de problemasmatemáticos: Tecnologías Digitales, Procesos Cognitivos y Metacognitivos yFormación de Profesores de Matemáticas”.

Presentamos algunos resultados de una investigación sobre la evaluación de la resolución deproblemas de matemáticas que llevan a cabo los profesores de secundaria en Bogotá (Colombia). Los resultados se obtuvieron a través de la triangulación de los análisis estadísticos sobre las respuestas dadas por 211 profesores a un cuestionario de elaboración propia (se aporta en el anexo del artículo), del análisis de contenido realizado sobre los instrumentos de evaluación (exámenes y tareas específicas de evaluación) y las intervenciones en los grupos de discusión en los que participaron algunos de estos profesores. 

La triangulación se hizo a partir de las categorías comunes o afines entre los diferentes instrumentos de investigación y nos permitió acercarnos a las prácticas de evaluación de los profesores cuando decían que evalúan la Resolución de Problemas. El análisis de los resultados nos permite concluir que existe cierto inmovilismo e inseguridad por parte del profesorado de Matemáticas al abordar la Resolución de Problemas y su evaluación en el aula, justificada por el desconocimiento sobre este contenido y sobre otros instrumentos de evaluación que sean económicos y a la falta de materiales. Esta investigación forma parte de un proyecto de investigación más amplio (MEC18D502), del que derivó una tesis doctoral (Cárdenas, 2014).

Otras publicaciones sobre el mismo trabajo (En las pestañas superiores Artículos y libros y capítulos de libros, tenéis los textos de los trabajos o clickeando en los títulos de los trabajos):

Cárdenas, J.A.; Guerrero, E.; Gómez, R. Caballero, A. y Blanco, L.J. (2011). International Journal of Developmental and Educational Psychology Año XXIII nº 1 Vol. 3. Los sentimientos que afloran en los docentes de Matemáticas de Secundaria en elproceso que llevan a cabo al evaluar el aprendizaje de sus estudiantes, 437 – 444.

Cárdenas, J., ., Blanco, L., Gómez, R., y Guerrero, E., (2012). Resolución de problemas de matemáticas y evaluación: aspectos afectivos y cognitivos. En V., Mellado, L. Blanco, B. Borrachero y  J. Cárdenas J. (Eds.), Las emociones en la Enseñanza y el Aprendizaje de las Ciencias Experimentales y las Matemáticas (pp 67-88). Badajoz: DEPROFE. ISBN: 978-84-15090-10-6.

Cárdenas, J. A., Blanco, L. J., Gómez del Amo, R. y Álvarez, M. R. (2013). Resolución de problemas de matemáticas y evaluación: aspectos afectivos y cognitivos. En A. Berciano, G. Gutiérrez, A. Estepa y N. Climent (Eds.), Investigaciónen Educación Matemática XVII, 219-228. Bilbao: SEIEM.

Cárdenas, J.A.; Blanco, L.J.; Guerrero, E. y Caballero, A. (2016). Manifestaciones de los Profesores de Matemáticas sobresus Prácticas de Evaluación de la Resolución de Problemas Manifestations of Mathematics Professors on their Practices of Problem Solving Assessment. Bolema, Rio Claro (SP), v. 30, n. 55, p. 649 – 669.

Cárdenas, J.A.; Blanco, L.J. y Cáceres, M.J. (2016). La Evaluación de las Matemáticas. Análisis de las pruebasescritas propuestas en la secundaria. Revista Unión, nº 48, 59-78.

Índice de l Monográfico sobre Resolución de Problemas:

Resolución de problemas matemáticos: Tecnologías Digitales, Procesos Cognitivos y Metacognitivos y Formación de Profesores de Matemáticas. Matías Camacho Machín, Manuel Santos Trigo, Rosa Nortes Martínez-Artero. 13-20.

La Resolución de Problemas Matemáticos y el Uso de Tecnología Digital en el Diseño de Libros Interactivos. Manuel Santos Trigo, Matías Camacho Machín. 21-40.

El rol de la tecnología en el desarrollo de entendimiento matemático vía la resolución de problemas. Fernando Barrera-Mora, Aarón Reyes-Rodríguez. 41-72.

Las emociones experimentadas por los participantes en una competición matemática de resolución de problemas. Nélia Amado, Susana Carreira. 73-100.

La resolución de problemas como estrategia de desarrollo profesional docente: tensiones que se generan en el profesor. Josefa Perdomo-Díaz, Cristóbal Rojas, Patricio Luis Felmer. 101-122.

La evaluación de la Resolución de Problemas de Matemáticas de profesores de Secundaria en Colombia. Janeth A. Cárdenas Lizarazo, Lorenzo J. Blanco Nieto. 123-152

Resolución de problemas y regulación del aprendizaje. Jordi Deulofeu Piquet, Joana Vilallonga Pons. 153-176.

La práctica docente del profesor: La enseñanza de fracciones en un aula de primaria a través de situaciones-problema. María Teresa González Astudillo, Ricardo Filipe Marques Portugal. 177-200.

Conocimientos matemáticos de futuros maestros en resolución de problemas de 6.º de primaria. Rosa Nortes Martínez-Artero, Andrés Nortes Checa. 201-230.

Aprendamos el significado de los conceptos y procesos estadísticos. Tres viñetas

No vale hacer trampas con la media, ni con el peso.

Estadística y probabilidad. Entrada 1.

La Estadística y la Probabilidad son dos contenidos escolares cuya enseñanza/aprendizaje se centra más en el cálculo con fórmulas y procesos matemáticos, que en el significado de los conceptos y procesos que queremos indagar.

Lo que constituye, evidentemente, un error en la enseñanza de las Matemáticas, que se visualiza en las viñetas que mostramos.

Significado de la Media estadística

El significado de los conceptos y proceso nos permitirá comprender el fenómeno y tomar decisiones acertadas. Los cálculos los podemos hacer utilizando algún programa de los muchos que existen al respecto. 

Poco sirve conocer la media, desviación típica o las distribuciones, por ejemplo, si luego no sabemos interpretar los datos que obtenemos. Y lo que es peor, damos una interpretación errónea en muchas ocasiones. Esto, según puede constatarse, es muy frecuente en los medios de comunicación cuando aportan datos y estadísticas, lo que hace que si no analizamos los números nos quedemos con el titular que puede ser erróneo y/o manipulado.

Un caso típico de desconocimiento de la estadística se refiere al dicho popular sobre si dos personas que se comen un pollo y uno se lo come entero y el otro nada. Según dicen la estadística señalaría que se han comido medio pollo cada uno. Quienes dicen esto se olvidan de la moda o de la desviación típica que nos explicaría la situación exacta. No entienden que la estadística descriptiva tiene varios conceptos que hay que entenderlos conjuntamente.

Pero para recordar esta situación inicio con esta entrada viñetas sobre estadística y/o probabilidad que iré ampliando en el futuro.

Dividir un triángulo obtusángulo en triángulos acutángulos. Una situación de bloqueo.

Geometría. Entrada 3.

Dividir un triángulo obtusángulo en triángulo acutángulo.

El bloqueo ante los problemas de Matemáticas provoca, en numerosas ocasiones, ansiedad en los resolutores. Ello les lleva al abandono y a la generación de actitudes negativas ante la resolución de problemas.

El bloqueo es una situación típica en los estudiantes de secundaria cuando abordan problemas de Matemáticas. Inconscientemente, repiten una acción renunciando a otras alternativas. No es suficiente el conocimiento de los pasos del Modelo General de Resolución de Problemas y se requiere otras experiencias.

Si embargo, existen sugerencias que pueden ayudarnos a salir del impasse. En Blanco (1983) se proponen algunas de estas propuestas que se ilustran con algunos problemas y acciones concretas para salir del bloqueo. Recogía, fundamentalmente, la propuesta del griego Spyros Kalomitsines (Kalomitsines, 1985) en su trabajo Some New Ways of Proceeding in Problem Solving, que ahora puede encontrarse en la red. Presentaba el "method of description” y el "getting out of loops" para ayudar a salir de los bloqueos en los problemas.

En esta entrada os propongo el problema enunciado en la parte superior, que ejemplifica esta situación y que recogí del libro de Martin Gardner Nuevos pasatiempos matemáticos (Gardner, 1972, p. 46). Dejo algunas pistas por si alguien se atreve con el problema y referencias bibliográficas que podrían ser consultadas después del esfuerzo.

 

Solución generalizada entre los resolutores de todas las edades y
que evidencia el bloqueo ante el problema.

Blanco, L.J. (1993). Consideraciones elementales sobre la Resolución de Problemas. Badajoz. Universitas Editorial. (En la pestaña superior: Libros y capítulos de libros).

Blanco, L.J. (1993). Una clasificación de problemas matemáticos. Épsilon, nº 25, 49-60. (En la pestaña superior: Artículos)

Gardner, M. (1972). Nuevos pasatiempos matemáticos. Madrid. Alianza.

Kalotmitsines,S. (1985). Some New Ways of Proceeding in Problem Solving. Pittsburgh Univ.

Una observación a tener en cuenta

Geometría. Entada 1.          Geometría. Entrada 2.

Recursos manipulativos para la enseñanza de la Geometría en Primaria. El Tangram.

El Tangram Chino es un recurso motivador y de 
interés en la enseñanza de la  Geometría escolar, y también para actividades de cálculo, en primaria. Os dejo algunos ejemplos.

El Tangram (Geometría. Entrada 2).

Las siete figuras que componen El Trangram nos permiten realizar numerosas composiciones figurativas que podemos utilizar en la enseñanza de las Matemáticas, tanto en Geometría como en aritmética.

Tangram. Lorenzo J. Blanco

https://maniasmatematicas.blogspot.com/

Existen diferentes tipos de Tangram que daremos a conocer en sucesivas entradas. En esta entrada tomaré como base el que utilizó Elffers Joost, en su libro “El tangram: Juegos de formas chino” (Joost, E. 1993), que aparece en la imagen.

Tangram.Lorenzo J. Blanco.
https://maniasmatematicas.blogspot.com/

Probablemente sea uno de los recursos más conocidos para la enseñanza/aprendizaje de la Geometría en Primaria, pero poco utilizado en el aula como recurso.





Os dejo dos actividades para el cálculo con fracciones o el de áreas y perímetros que desarrollaba y que os traslado para ser utilizadas en el aula.

Actividades de fracciones con Tangram. Lorenzo J. Blanco https://maniasmatematicas.blogspot.com/ 

Actividades de cálculo de área y perímetro con el Tangram.
Lorenzo J. Blanco. https://maniasmatematicas.blogspot.com/ 

Bibliografía básica que utilicé y que sigue teniendo total validez, a pesar de los años transcurridos.

Albaiges (1981). ¿Se atreve Usted con ellos? Marcombo. p.45-47.

Alsina, C.; Burgues, C. Y Fortuny, J. (1988). Materiales para construir la Geometría. Síntesis. Madrid. p.64-65 (Diferentes tipos de tangram).

Arrieta (1995). Los procedimientos en Geometría. Uno nº 3, p. 18.

Cascallana, M.T. (1988). Iniciación a la Matemática. Materiales y recursos didácticos. Santillana. Madrid.

Elffers, J. (1982). Juego de formas chino: Tangram. Labor. Barcelona.

Llibre, J. (1977). El tangram de los ocho elementos. Barral. Barcelona.

Enseñar/aprender a resolver Problemas de Matemáticas. Un caracol subiendo una pared de cinco metros.

Actividades sobre el Modelo General de Resolución de Problemas - MGRP (Entrada 5).
Primer paso del Modelo: Leer comprensivamente el enunicado, analizar/imaginar/representar la situación descrita en el enunicado, etc.

Enunciado del Problema del Caracol.
Blanco, L.J. (1993) y Blanco et al (2015)

El problema del caracol subiendo una pared de cinco metros es un nuevo ejemplo de enunciado para ayudar a los estudiantes a comprender la importancia de analizar las situaciones o leer comprensivamente los enunciados de los problemas.

Este enunciado va en la línea de los presentados en la Entrada 2 y Entrada 3.

Es muy frecuente que al leer este enunciado se asuma rápidamente que la solución sería cinco días. Cada día sube dos metros y baja uno por la noche, es decir a metro por día. Pero el problema planteado requiere una lectura tranquila, un análisis más certero y una representación real de la situación que se describe.
Quiero resaltar que para comprender el enunciado es muy importante imaginarse la situación que se describe. Por ello, es muy conveniente y útil ayudarse de una representación o de un dibujo o, ya que ahora es posible, de una animación.

 

Sale del suelo. El primer día sube dos metros y baja un metro.

El segundo subirá a los tres metros, pero bajará uno por lo que se situará en el metro 2.

El tercer día subirá al metro cuatro y bajará al tercero.

El cuarto día parte del metro tres, y al subir dos metros llega al final (cinco metro) de la pared, que era lo que señalaba el problema.

En cuatro días llegará a los cinco metros.

Vídeo con una presentación para visualizar la solución del problema

Este problema aparece enunciado en los dos libros siguientes que podréis bajaros cliqueando en los títulos o en la pestaña de "Libros y capítulos de libros" en la parte superior de este blog:

Blanco, L.J.; Cárdenas, J.A. y Caballero, A. (2015). La resolución de problemas de Matemáticas en la Formación Inicial de profesores de primaria. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Extremadura. p. 116.

Blanco, L.J. (1993). Consideraciones elementales sobre la resolución de problemas. Universitas Editorial. Badajoz. p. 64.

El problema del caracol viene enunciado en el libro de Mariano Mataix Lorda, Cajón de sastre matemático (nº 44, p, 73).

Enseñar/aprender Geometría en Primaria y Secundaria.

Recursos manipulativos y/o actividades para la enseñanza de la Geometría.
El libro de espejos (Geometría. Entrada 1).

Nos encontramos en el siglo de la tecnología digital y su uso en la enseñanza es necesario. No podemos luchar contra los elementos. No obstante, en los primeros niveles de educación, el uso de materiales y actividades manipulativas sigue siendo fundamental.

Utilizando plastilina con el libro de espejos.

Se asume que el pensamiento concreto es el mecanismo de aprendizaje en Infantil, Primaria y en muchos estudiantes de Secundaria.

Lo concreto son los objetos observables y manipulables, lo que impresiona los sentidos (vista, oído, tacto, gusto y olfato) y que nos invita a actuar. 

Interés de los materiales y recursos didácticos

El desarrollo de las capacidades en los niños supone el paso de etapas intuitivas y concretas a las de operaciones formales. Hay que partir de lo tangible y de las acciones con los objetos para ir sustituyéndola, paulatinamente, por símbolos y acciones interiorizadas que nos ayudaran a adentrarnos en el mundo simbólico y conceptual de las matemáticas. Esto no es algo nuevo, pero se olvida, o parece olvidarse, cuando se trabaja en las aulas de primaria y secundaria.

Iniciamos hoy diferentes entradas sobre materiales manipulativos que utilicé con mis estudiantes y que tienen interés para la enseñanza/ aprendizaje de la Geometría escolar.

El libro de espejos.

El libro de espejos está formado por dos espejos iguales unidos por uno de sus lados con algún material flexible como cinta aislante, que permita su movilidad para abrirse o cerrarse. Luego, como se muestra en las imágenes podremos utilizar figuras en el plano o en el espacio.

¿Qué figura debemos colocar en el centro del libro de espejos para reproducir una pirámide o un prisma hexagonal? 

Figuras en el plano, simetría, ... Geometría con espejos.

Bibliografía sobre el uso de espejos en la enseñanza de la Geometría.

La bibliografía es la que utilicé en su momento y, aunque es de hace algunos años, sigue siendo completamente válida. Es evidente que si buscáis en la red encontraréis múltiples documentos y vídeos.

Alsina, C; Pérez, R y Ruiz, C. (1989).  Simetría dinámica. Síntesis.

Alsina, C. y Fortuny, J.M. (1992). Miralandia. Un viaje geométrico al país de los espejos. Proyecto Sur ed. Granada.

Bermejo, A. (2002). El libro de los espejos. Aplicaciones didácticas. Suma 41. 83-92:

Brihuega, J. (Coord.) (1995). Guía de recursos didácticos. Matemáticas. Secundaria Obligatoria. MEC. Madrid.

Hernan F. Y Carrillo, E. (1988). Recursos en el aula de Matemática. Síntesis. Madrid.

Enseñar/aprender a resolver Problemas de Matemáticas. Problemas contextualizados en Badajoz. Actividades sobre el Modelo General de Resolución de Problemas - MGRP (Entrada 4).

“Una buena alfabetización matemática debiera permitirnos analizar y comprender situaciones, organizar la información, describir fenómenos, generalizar procedimientos, … Estas capacidades son objetivos en todas las propuestas curriculares y como tal deben ser objeto de trabajo escolar desde los primeros niveles de enseñanza. Son, además, referencias básicas en el primer paso necesario para la resolución de problemas y para tomar decisiones ante los problemas de Matemáticas y en la vida cotidiana”, (Blanco y Blanco, 2009).

Blanco, B. y Blanco, L.J. (2009). Contextos y estrategias en la resolución de problemas de primaria. Numeros 71, 75 – 85. (Haz clic en el texto)
(en la pestaña de artículos de este blog podéis bajaros este artículo y otros similares)

Propongo cinco ejemplos de problemas, contextualizados en Badajoz, para los niveles de primaria. Son enunciados curiosos y provocadores para que los niños fijen su atención en el enunciado antes de decidir qué operación o proceso van a realizar.

Estos cinco problemas son enunciados similares a los propuestos en las dos entradas anteriores (MGRP, Entrada 2 y MGRP, Entrada 3):

Problema 1:” "Hay 400 metros desde la Catedral hasta el Museo de Bellas Artes. Y 650 metros desde el Museo hasta el Puente Viejo. Calcula la distancia desde la Catedral hasta Museo de Bellas Artes".

Muchos niños suman estas cantidades. Y algunos lectores ya lo habrán hecho.

Blanco, B. y Blanco, L.J. (2009).
Contextos y estrategias en la resolución de problemas
de primaria. Números 71, 75 – 85.

Problema 2: “Si una persona tarda desde la Alcazaba hasta el Fuerte de San Cristóbal 20 minutos andando, ¿cuántos minutos tardarán cuatro personas?”.

Es fácil que los niños multipliquen “20 x 4”, porque la estructura del problema es la típica que se reproduce en los libros de textos para resolverse con el algoritmo (“con la cuenta”) de la multiplicación.

Un problema similar aparece en el texto de Luceño (1986) que os cito:

Luceño, J.L. (1986). El número y las operaciones aritméticas básicas: su psicodidáctica. Marfil. Alicante.

Problema 3: "Luis de Morales tiene 2 euros, Juan Vázquez 3 euros, y Carolina Coronado tiene 1 euro y 50 céntimos. Luis de Morales compra regaliz y se gasta 40 céntimos ¿Cuántos euros tiene Juan Vázquez más que Carolina Coronado?, ¿Cuántos euros le quedarán a Luis de Morales?”.

Problema 4: "“Un automóvil va desde La Alcazaba hasta la Universidad de Extremadura cuya distancia es de 4,7 km. Si consume 8 litros cada 100 km. Si, ¿Cuántos litros gastará en 150 km.?”.

Problema 5: "La calle Santo Domingo tiene dos partes, desde la esquina con Meléndez Valdés hasta la Calle Mallor y desde la Calle Mayor hasta la Plaza de Santo Domingo. La primera parte mide 190 metros. ¿Cuál es la longitud de la calle?".

La experiencia me indica que cuando trabajamos estas actividades en primaria y los lugares y personajes que citamos son cercanos y/o conocidos, los niños se sienten atraídos y motivados. No olvidemos que el objetivo de plantear estas actividades no es hacer ninguna operación sino analizar el texto planteado, para ayudar a los alumnos leer comprensivamente. Es el primer paso para Resolver Problemas de Matemáticas.