Matemáticas e historia. Una relación necesaria para que podamos comprender lo que realmente ha pasado.

En numerosas ocasiones cuando leemos cuestiones de historia obviamos los datos numéricos como fechas o población y nos quedamos con la idea general que el comunicante nos sugiere. De esta manera, asimilamos postulados ideológicos o interpretaciones históricas que no se deducen realmente de los hechos al analizar los números.

Esto es lo que ha sucedido recientemente en Badajoz donde se ha colocado una campana en una edificación de origen musulmán (año 1169), a la que le colocaron una campana 398 años después (año 1567), y que se la quitaron en 1856. En la resolución de los problemas que proponemos, en un párrafo posterior, vemos que casi la mitad inicial de la torre estuvo sin campana, y que en total ha estado un 66,1 % de su vida sin campana.

Según los que han patrocinado la nueva instalación de la campana pareciera que la campana estuvo siempre allí, pero en el fondo lo que subyace es su ideología ya que la campana se le da una significación católica alejada de la historia musulmana. Badajoz tuvo durante unos cinco siglos (siglo VIII al XIII) una población mayoritariamente musulmana.

Problemas de matemáticas con la historia de la campana.

¿Cuántos años hace que se construyó la Torre de la Atalaya o Torre de Espantaperro?

Sol. 2021 - 1169 = 852 años.

¿Cuántos años ha estuvo la Torre sin campana?

Sol. 1567 - 1169 = 398 años.

¿Cuántos años estuvo la torre con campana?

Sol. 1856 - 1567 = 298 años.

¿Cuántos años hace que se quitó la campana?

Sol. 2021 - 1856 = 165 años.

Según los datos anteriores, ¿Cuántos años ha estado la torre sin campana y con campana?

La torre ha estado con campana 298 años.

La torre ha estado sin campana 398 + 165 = 563 años.

Consecuentemente, decir que la campana es básica en la construcción de la Torre o que siempre estuvo allí, no es cierto.

Es evidente que la campana no puede considerarse como un símbolo de la historia de Badajoz, a la luz de los números y de cómo la torre fue diseñada en su origen sin campana. 

Os dejo la publicación en HOY (30/12/2021).

Nuria Climent, presidenta de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática, entrevistada en el Boletín de la Real Sociedad Matemática Española.

Es evidente que la investigación en educación matemática y la práctica docente tienen que ir de la mano, en todos los niveles educativos. Sin este requisito necesario es muy difícil avanzar. Por eso, son importantes las ideas que se transmiten en esta entrevista.

En el nº 728 (24/09/2021)del Boletín de la RSME publica una entrevista con Nuria Climent, profesora de Didáctica de la Matemática, de la Universidad de Huelva en la que habla del papel de la investigación en educación matemática, de la Sociedad que preside www.seiem.es y de la revista Avances de Investigación en Educación Matemática www.aiem.es  

Clasificando actividades matemáticas 23.

Problemas con enunciados engañosos, curiosos, ... para provocar la atención de los resolutores, con el objetivo de mostrar la necesidad de una lectura sosegada y comprensiva de los enunciados.

Cuando los pequeños están iniciándose en los problemas de matemáticas suelen buscar el algoritmo o la fórmula que los resuelva inducidos por la rutina en las aulas. En muchas prácticas escolares parece que el objetivo principal, y casi único, para realizar problemas es practica algún algoritmo, fórmula o procedimiento mecánico. Esta es la causa de que algunos estudiantes señalen que los problemas en contextos cualitativos, como los enunciados en algunas entradas anteriores, no los consideren problemas de matemáticas.

A los resolutores guiados por esta rutina no basta con decirle que tienen que leer o releer el enunciado, y seguirán preguntando ¿es de sumar? ¿Es de restar? o no me acuerdo de la fórmula.

Mi experiencia me indica que en estos casos lo mejor es plantearle enunciados con textos curiosos donde falten datos, preguntas absurdas o cuya respuesta no surja de una operación inmediata y si del análisis del texto, etc. Es decir, que recuerden que pueden encontrarse con situaciones que les obliguen a pensar y a leer comprensivamente. Es más, recuerdo que en algunas ocasiones he visto como mis nietos me han venido a proponer problemas de este tipo, lo que implica que lo han pensado y trabajado. Y esto es muy interesante en matemáticas y para su educación y aprendizaje.

El problema propuesto forma parte de un próximo libro sobre matemáticas urbanas.

Décimo aniversario de la Revista Avances de Investigación en Educación Matemáticas - AIEM

www.aiem.es 

En 2012 se inició la publicación de AIEM www.aiem.es como revista de investigación de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática www.seiem.es, de la que me cupo el honor de ser su primer editor, con un magnífico equipo de compañeros de la sociedad.

Desde entonces se ha mantenido ininterrumpidamente gracias a la colaboración de excelentes investigadores que han participado como editores, revisores, autores o, simplemente, citando la revista en sus trabajos. Este año celebramos su décimo aniversario lo que es un motivo de alegría.

La revista ha crecido en estos últimos años gracias al buen hacer de Nuria Planas de la Universidad Autónoma de Barcelona, como editora. Estoy seguro que la revista seguirá creciendo como referencia internacional en la investigación en educación matemática, en esta nueva etapa que tendrá a Ceneida Fernández, de la universidad de Alicante, como editora principal.

En el número 20, publicado este mes, Nuria Planas, publica un editorial a modo de conmemoración y sobre el significado de la revista en nuestro ámbito científico.

Clasificando actividades matemáticas 22.

Problemas en contextos cualitativos - 2.

En la entrada anterior propuse el problema de la ¿lámina cuadrada? como ejemplo de problema cualitativo. 

¿Se expresan bien Abel y Helia?

Lo tuiteé y voló por la red generando numerosos hilos de diálogo, todos interesantes. Para mí, fue una sorpresa tanta y tan buena acogida.

Era uno de los problemas que he propuesto en numerosos cursos a profesores, en formación o en activo (Blanco, Cárdenas, Gómez y Caballero, 2015). Lo interesante del problema es el diálogo que se desarrolla en el aula, por parte de profesores y estudiantes, y el mostrar que en un problema de matemática no tiene porqué haber algoritmos o fórmulas y cálculo aritmético.

Insisto en la importancia del análisis del discurso en el aula (de profesores y estudiantes) en el momento de justificar sus respuestas que se relacionan directamente con los conceptos relativos a la clasificación de los cuadriláteros y sus relaciones. Las respuestas de los estudiantes están inducidas por el discurso de los profesores porque, inconscientemente, decimos cosas que no debiéramos.

Así, por ejemplo, podremos oír sobre la lámina del problema.

“Si tiene los lados iguales no podemos decir que sea un cuadrado porque puede ser un rombo”.

Esta expresión, claramente diferencia y excluye los cuadrados de los rombos. Inconscientemente, se olvida que el cuadrado es un caso particular del rombo, en la clasificación que se utiliza mayoritariamente en primaria y secundaria. En cualquier caso, en muy pocas ocasiones se recurre a las definiciones de base para resolver la situación.

Así, las definiciones más usuales en los libros de textos son inclusivas y señalan:

Cuadrado: cuadrilátero con lados y ángulos iguales. O, cuadrilátero con lados y iguales y cuatro ángulos rectos.

Rombo: Cuadrilátero con cuatro lados iguales.

Consecuentemente: “todos los cuadrados son rombos”, aunque “no todos los rombos son cuadrados”.

También, en el diálogo en el aula, al resolver el problema aparece la expresión:

“Si tiene las diagonales iguales no podemos decir que sea un cuadrado porque también podría ser un rectángulo”.

En este segundo razonamiento excluimos al cuadrado como un caso particular del rectángulo, cuando en las definiciones usuales de los libros de texto lo incluye.

Rectángulo: Cuadrilátero (o paralelogramo) con cuatro ángulos rectos.

La referencia a las diagonales es, también, curiosa. Normalmente se olvida que hay otros cuadriláteros que tienen las diagonales iguales. Así, el trapecio isósceles tiene las diagonales iguales. También las tiene algún ejemplo de trapezoide.

 

Todo esto viene provocado por la confusión entre concepto, imagen de un concepto y representación y definición. Pero, esto lo dejamos para otra ocasión (Blanco, 2001).

Clasificando las actividades matemáticas - 21.

Problemas en contextos cuantitativos y cualitativos -1.

Cuando le pedimos a los estudiantes que escriban diferentes enunciados de problemas de matemáticas, lo usual es proponer problemas cuya resolución implique el uso de algoritmos (operaciones aritméticas, ecuaciones, etc.). También, problemas de geometría en referencia al cálculo de longitudes y de superficies, lo que implica el recuerdo y la aplicación de las fórmulas. En algunas ocasiones, el uso de los algoritmos es inmediato y en otras implica una lectura comprensiva del enunciado. Os dejo un problema sobre las edades de dos hermanos, un poco diferente a lo usual.

“Adrián nació el 16 de setiembre de 2019 y Daniel el 24 de marzo de 2021. ¿Cuántos años tiene más Adrián que Daniel?, ¿Cuántos meses tiene menos Daniel que Adrián?, ¿Cuántos días de diferencia hay entre sus cumpleaños?”.

En numerosos cursos a profesores de matemáticas, en formación o en servicio, he preguntado si es posible enunciar y resolver un problema de matemáticas que no implicara el desarrollo de algoritmos numéricos o algebraicos obteniendo una respuesta negativa en muchas ocasiones.

Para mí, un problema de matemáticas implica la existencia de una cierta dudas en el procedimiento a utilizar y el uso de conceptos y procesos matemáticos, sean numéricos o no (Blanco et al, 2015). Pongo un ejemplo, muy bonito, de un problema de los que yo denomino en contexto cualitativo.

Problema de la ¿lámina cuadrada? 

 

“La resolución de este problema requiere del uso de conceptos matemáticos pero no plantea la aplicación de ningún algoritmo o fórmula, ni la respuesta es un dato numérico. Por ello, cuando planteamos esta actividad preguntamos a los estudiantes para profesores si se trata de un problema de matemáticas, la respuesta es negativa o de duda para muchos de ellos al observar que no hay que aplicar ninguna fórmula o realizar cálculo alguno. Sin embargo, cuando abordamos la tarea, reflexionamos sobre los conceptos implicados, los errores que surgen y la discusión que se genera cambian de opinión puesto que experimentan la necesidad de debatir y reconsiderar su conocimiento matemático sobre los cuadriláteros” (Blanco et al, 2015, p. 88).

Curso semipresencial Rutas Matemáticas con MathCityMap. Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas.

Curso Rutas Matemáticas

Este curso surge a partir del Proyecto Erasmus+ 2019-1-DE03-KA201-060118MaSCE3 (Mathtrails in School, Curriculum and Educational Environments of Europe).

El proyecto MaSCE3 está centrado en el trabajo curricular so
bre rutas matemáticas con dispositivos móviles y utiliza MathCityMap como herramienta principal y dirigido a profesores de Matemáticas interesados en cómo trabajar con rutas matemáticas con dispositivos móviles.

La actividad se estructura en cuatro fases:

• Fase 1: el curso se iniciará con una jornada presencial en cuatro sedes: Gijón, Guareña (Badajoz), Jaén y Santander para establecer las bases didácticas de cómo abordar matemáticas en la calle, fuera del aula, con MathCityMap y se formará acerca de cómo diseñar tareas y rutas matemáticas a través del portal web http://www.mathcitymap.eu (4 horas).

• Fase 2: a partir de la primera fase presencial, los participantes dispondrán de casi tres semanas para diseñar una ruta que se ajuste a los criterios pedagógicos de MCM.

• Fase 3: después de haber diseñado sus rutas, se mantendrá una sesión síncrona online en la que se trabajará acerca de la revisión de las tareas y rutas MCM de manera que se garantice que se ajusten a ciertos criterios como la presencialidad en el lugar donde se ubican las tareas o la actividad matemática contando, midiendo, buscando información, etc.

• Fase 4: Los participantes harán revisiones de tareas por pares (4 horas).

Coordinación Claudia Lázaro del Pozo. Secretaria de Relaciones Internacionales de la FESPM.

Ponentes:

• Beatriz Blanco Otano, profesora de Matemáticas de Educación Secundaria en el IES Eugenio Frutos, de Guareña (Badajoz). Miembro activo de la Sociedad Extremeña de Educación Matemática Ventura Reyes Prósper. Participa en el grupo de la FESPM sobre Rutas Matemáticas. Es autora de rutas MCM y pertenece al equipo de revisores de tareas y rutas.

• Juan Antonio Espinosa Pulido, profesor de Matemáticas de Educación Secundaria en el IES Catalina de Alejandría (Jaén). Delegado Provincial de la SAEM Thales Jaén desde 2015. Participa en el grupo de la FESPM sobre Rutas Matemáticas. Es autor de rutas MCM y pertenece al equipo de revisores de tareas y rutas.

• María Claudia Lázaro del Pozo, profesora de Matemáticas de Educación Secundaria en el IES Santa Clara (Santander) y profesora asociada en la Universidad de Cantabria, donde imparte docencia en el Máster en Formación del Profesorado de Educación Secundaria. Es socia fundadora de la Sociedad Matemática de Profesores de Cantabria (SMPC) y Secretaria de Relaciones Internacionales de la FESPM, siendo persona de contacto de la Federación en el proyecto europeo MaSCE3 .

• Juan Martínez Calvete, profesor de Matemáticas de Educación Secundaría, actualmente en el IES Rosario Acuña (Gijón, Asturias). Vicepresidente de la FESPM. Presidente de la Sociedad Madrileña de Profesores de Matemáticas Emma Castelnuovo, de 2005 a 2018. Participa en el grupo de trabajo de la FESPM sobre Rutas Matemáticas y es autor de rutas MCM.

“Tenía un profesor que sabía muchas matemáticas, pero no sabía enseñarlas”.

Hace unos días @druizagulera y @pbeltranp interrogaban si para ser buen profesor de matemáticas basta con saber muchas matemáticas. Mi respuesta fue trivial:

Conocimiento del profesor de Matemática.

“Para ser un buen profesor de matemáticas es condición necesaria saber matemáticas, pero no es condición suficiente”.

Esta frase la utilizaba, frecuentemente, cuando impartía cursos y talleres sobre la formación del profesor de matemáticas. Y la ponía acompañada de una expresión popular que he oído, y sigo oyendo, muy a menudo:

“Tenía un profesor que sabía muchas matemáticas, pero no sabía enseñar matemáticas. Creo que por eso no me gustan".

 

Obviamente, caracterizar el conocimiento profesional del profesor de matemáticas no es un tema baladí. Ello implica ponernos de acuerdo en ¿Qué es un buen profesor? ¿Qué son las matemáticas? ¿Qué matemáticas debemos enseñar? ¿Para qué enseñar matemáticas en el siglo XXI?, etc. Preguntas que debemos hacernos e intentar contestarnos con honestidad para ejercer la actividad docente con cierta ética y alguna garantía de éxito.

Si en algo estamos ya de acuerdo todos los investigadores en la formación de profesores de matemática es que el conocimiento profesional del profesor es un conocimiento especializado, relacionado con el contexto escolar donde lo va a desarrollar y construido a partir de múltiples conocimientos y experiencias personales, no solo de matemáticas. Es evidente, que este conocimiento profesional es diferente del conocimiento matemático que necesita un estadístico o un ingeniero.

Afortunadamente, en la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (www.seiem.es; https://aiem.es/) existe un grupo de investigación (Conocimiento y Desarrollo Profesional del Profesor) integrados por investigadores españoles en el campo de la Didáctica de la Matemática que han escrito mucho y bien acerca del conocimiento del profesor de matemáticas (Pedagogical Content Knowledge – Conocimiento Didáctico del Contenido y Mathematical Knowledge for Teaching - Conocimiento Matemático para la Enseñanza - MTK) y, también, sobre los problemas de la formación del profesor de matemáticas, tanto en primaria como en secundaria. En estos trabajos también se realizan propuestas específicas sobre contenidos, trayectorias profesionales, tipos de tareas, etc. que favorecen el

"Enseña Matemáticas"      "Aprender Matemáticas"      “Aprender a Enseñar Matemáticas”. 

Clasificando las actividades matemáticas - 20.

Supuestos implícitos que bloquean la solución de un problema - 2.

En la entrada anterior (Entrada 19/08/2021) proponíamos un
problema en el que se evidenciaba cómo, en algunas ocasiones, asumimos inconscientemente una condición que no aparece en el enunciado de la tarea. Son los supuestos implícitos que vienen provocados por experiencias previas con problemas similares.

Esta condición asumida, casi siempre sin darnos cuenta, provoca
bloqueos (Entrada 08/11/2018 y 02/05/2021; Entrada 15/05/2021; Entrada 22/02/2019) impidiéndonos resolver el problema.

En esta entrada presentamos un segundo ejemplo sacado de la matemática recreativa.

 

 

Clasificando actividades matemáticas - 19.

Supuestos implícitos que bloquean la solución de un problema -1.

Cuatro triángulos equiláteros con seis palillos.

En ocasiones, cuando abordamos un problema asumimos, implícita e inconscientemente, alguna condición que no aparece en su enunciado o presentación. Esto es así como consecuencia de la experiencia previa al resolver actividades similares a la que se nos propone.

Esta condición asumida, casi siempre sin darnos cuenta, provoca bloqueos (Entrada 08/11/2018 y 02/05/2021; Entrada 15/05/2021; Entrada 22/02/2019) impidiéndonos resolver el problema.

Así, proponemos las siguientes tareas:

“Con seis palillos iguales construir cuatro triángulos equiláteros iguales”.

"Construir ocho triángulos con doce palillos".

"Construir siete triángulos con nueve palillos".

La primera vez que me percaté de la importancia de este tipo de actividades fue con la lectura del trabajo de Borassi (1986) hace ya algunos años y que lo recogí en el libro “Consideraciones elementales sobre la resolución de problemas” (Blanco, 1993).

En estos problemas asumimos implícitamente que tenemos que resolverlos en el plano, cuando esta condición no está ni explícita no implícitamente en el enunciado del problema. Pero, usualmente cuando trabajamos con palillos lo hacemos en el plano, que es lo que condicionará, inconscientemente, nuestra manera de abordar el problema.

La solución en el espacio es trivial, ya que una pirámide triangular y regular tiene cuatro caras triangulares y seis aristas que serían los seis palillos de los que disponemos en la primera tarea.

Los otros dos problemas se los dejo al lector para que los resuelva.

Borasi, R. (1986). On the nature of problems. Educational Etudies in Mathematics, 17. 125-141.

Clasificando las actividades matemáticas.