viernes, 31 de mayo de 2019

El engaño de los espárragos (Rodríguez, 1983) como pretexto para trabajar la relación entre el perímetro y el área.

Rafael Rodríguez Vidal Diversiones matemáticas.
Rodríguez Vidal, Rafael (1983).
Diversiones matemáticas.
Enseñar/aprender a resolver problemas de matemáticas. Un problema interesante de geometría que se puede resolver en diferentes niveles.
Actividades sobre el Modelos General de Resolución de Problemas MGRP (Entrada 14).

EL ENGAÑO DE LOS ESPÁRRAGOS
“Dice una vieja historia que cierto día acercóse un mozo a un vendedor de espárragos en el mercado, y así le dijo:
-     Ved que traigo conmigo este cordel que mide un palmo, y pregunto cuánto me cobraréis por el mazo de espárragos que pueda atar con él.
Pidió el aldeano cinco reales y el mozo se mostró conforme, pagó y se llevó la mercancía. A los dos días se presentó el mozo y dijo:
-         Aquí vengo con este cordón, que mide dos palmos. Os acordaréis que por los espárragos que pude atar con el cordel de un palmo me cobrasteis cinco reales. Así que por el mazo que atemos con este cordón de dos palmos os pagaré diez reales, si lo veis justo.
Aceptó el aldeano, aunque concluida la venta se quedó con una cierta duda de si le habría o no engañado el comprador. (Rodríguez Vidal, 1983, p. 83).

En el libro podréis encontrar algunas cuestiones más acerca del problema, de la relación perímetro y área y superficie y volumen. Ello muestra el interés del problema para la enseñanza/aprendizaje de las matemáticas.
Rodríguez Vidal, Rafael (1983). Diversiones matemáticas. Editorial Reverté, S.A. Barcelona. (P. 83 – 85)

El análisis del enunciado implica comprender que el contenido matemático subyacente al enunciado es trabajar sobre si el doble de la longitud de la circunferencia implica el doble del área del círculo. Este es uno de los errores típicos en la mayoría de los estudiantes y de la población adulta, que asume que el doble del perímetro implica el doble del área que contiene.

El interés de este problema radica en la posibilidad de resolverse en diferentes niveles, lo que permite debatir con los resolutores sobre la importancia de diseñar estrategias de solución de problemas.

En este caso, señalo tres estrategias diferentes.
i.  Manipulativa. Cogemos dos cordeles, uno el doble de longitud que el otro. Atamos lápices con uno y otro cordel y comprobamos si el cordel mayor abarca el doble de lápices que el cordel pequeño. Podemos observar que el segundo cordel abarca más del doble del número de bolígrafos que el primero.
Ello nos mostraría que eran razonables las dudas del aldeano y que le habían engañado.

Longitud de la circunferencia, área del círculo, relación entre perímetro y área
Relación entre la longitud de la
circunferencia y el área del círculo.
ii. Representación gráfica. Dibujamos una circunferencia de radio 4 cm. y en su interior dibujamos dos circunferencias con radio la mitad del radio de la anterior.
La imagen muestra que el círculo mayor es más del doble que el círculo menor.
Ello nos mostraría que eran razonables las dudas del aldeano y que le habían engañado.



Relación longitud circunferencia y área del círculo. Y área y pèrímetro
Relación longitud circunferencia y área del círuclo
iii. A partir del uso las expresiones de la longitud de la circunferencia y del área del círculo comprendido, partiendo de un dato concreto. Por ejemplo, dos cuerdas de longitudes 10 cm. y 20 cm., y calcular las áreas de los círculos respectivos.

iv.  A partir del uso las expresiones de la longitud de la circunferencia y del área del círculo comprendido, pariendo de dos longitudes genéricas L1 y L2.

v. Finalmente, podríamos generalizar la situación para desechar la falsa creencia de que el doble del perímetro implica el doble del área. Para ello, como paso intermedio podríamos poner ejemplo de otras figuras planas.

Bibliografía relacionada:

·   Ball, D.L. y Wilson, S.(1990). Knowing the subject and learning to teach it: Examining assumptions about becming a mathematics teacher. Research report. N.C.R.T.E.
·   Blanco, L. (1996) Aprender a enseñar Geometría. Una experiencia en la formación inicial del profesorado de primaria. Epsilón 34, 47 – 58
·     Contreras, L.C. y Blanco, L.J. (Coords.) (2002). Aportaciones a la Formación Inicial de Maestros en el área de matemáticas: Una mirada a la práctica docente. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Extremadura.
·   Jiménez-Gestal, C. y Blanco Nieto, L.J. (2017). El teorema de PICK como pretexto para la enseñanza de la Geometría con Estudiantes para MaestroRevista Números Vol. 94, 7-21.

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