En la Sociedad Extremeña de Educación Matemática "Ventura Reyes Prósper" estamos de enhorabuena por la concesión del Instituto GeoGebra de Extremadura (IGEX).
El #IGEx estará dirigido por Javier Cayetano Rodríguez, miembro de la Junta Directiva de la SEEM.
Os dejo la información.
Problemas Procesos - 1
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| Clasificando las actividades Matemáticas. |
Este problema se puede abordar de diferentes maneras llevándonos a utilizar diferentes conceptos y procesos matemáticos y establecer la relación entre ellos. Es lo que lo hace interesante para enseñar/ aprender a resolver problemas.
Antes de mostrar de manera esquemática algunas de ellas, recordaré la reacción más frecuente de los estudiantes cuando les proponía el problema.
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| Partida de tenis. Problema procesos (Blanco, 1993). |
1. Podemos coger un grupo de 15 miembros para simular una situación real y escenificar todas las formas de combinación que podamos ir encontrando y contarlas. Entrada
2. Podemos partir del caso de dos personas, tres, cuatro, … anotando todos los datos y situaciones intermedias, y buscar alguna expresión que nos permita generalizar la situación a ´n´. Entrada 94/04/2021.
3. Podíamos simular que las personas son vértices de un polígono y unir los vértices de todas las maneras posibles. Visualizaríamos que el resultado es la suma de los lados y las diagonales. Entrada 19/03/2021.
En las entradas señaladas mostramos estas dos soluciones.
Cualquier duda o sugerencia en comentarios.
Información obtenida de la página de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Educación Matemática (FESPM).
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| Webinar rutas matemáticas como recurso didáctico. FESPM |
El Webinar se podrá seguir desde
el Canal YouTube de la FESPM:
https://www.youtube.com/channel/UCCOyV-1dXJx6zC_mZ04J1AQ
Y a través del Seminario ZOOM: https://zoom.us/j/94645855815
En el marco del Día Internacional
de las Matemáticas que en todo el mundo se celebra el 14 de marzo, se va a celebrar
una webinar sobre las rutas matemáticas como recursos didácticos, el día 18 de
marzo de 2021 a las 18 h 30m (hora peninsular).
Las rutas matemáticas son un componente muy relevante en una enseñanza de la matemática vinculada a la vida cotidiana sobre la que muchos profesores de matemática han sido pioneros en España. Además, puede ser una referencia muy relevante en las actividades de turismo urbano.
Para ello la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas ha reunido a tres especialistas de larga trayectoria en el diseño y realización de paseos matemáticos coordinados por Claudia Lázaro del Pozo, de la Sociedad Matemática de Profesores de Cantabria y Secretaria de Relaciones Internacionales de la FESPM que viene siendo una miembro destacada del proyecto europeo MathCityMap que une las rutas matemáticas con las tecnologías en una App disponible desde https://mathcitymap.eu/es/
Desde la isla de Tenerife tendremos a Luis Balbuena Castellano, licenciado en matemáticas y profesor jubilado de Enseñanza Secundaria. Cuando la ciudad de La Laguna fue declarada Patrimonio de la Humanidad (1999), impartía un Taller para Recrear Matemáticas y con un grupo de sus estudiantes elaboró una ruta matemática como homenaje a la ciudad desde las Matemáticas. Poco después el trabajo se editó llegando a la tercera edición el pasado mes de diciembre, esta vez, bilingüe (español-inglés). Desde aquella fecha, millares de personas (estudiantes y adultos), han podido tener un visón especial de la ciudad captando detalles que, de otra forma, les pasarían desapercibidos. A los estudiantes se les prepara un cuadernillo de actividades, acorde con sus conocimientos, que realizan, unas durante el recorrido y otras después al tener que hacer ciertas indagaciones para contestarlas. Recientemente la FESPM ha publicado su libro Desde miconfinamiento: ideas y recursos para aprender matemáticas.
Desde Extremadura participará Lorenzo J. Blanco Nieto, catedrático de Didáctica de la Matemática en la Universidad de Extremadura, miembro de la SEIEM y de la SEEM, Ventura Reyes Prosper. Autor de numerosas publicaciones que pueden recuperarse en el blog https://maniasmatematicas.blogspot.com/. Ha publicado libros relacionados con las rutas matemáticas, el último editado también por la FESPM en 2020 cuyo título es Mirar la ciudad con ojosmatemáticos. Itinerarios matemáticos por Badajoz.
También, publicó en 2017, Itinerario matemático por el Museo Arqueológico Provincial de Badajoz. con diferencia del libro del profesor y las actividades para los estudiantes.
Y finalmente desde Valencia participará María García Monera, licenciada en Matemáticas por la Universitat de València (UV) y doctora en el área de geometría por la Universitat Politècnica de València. Actualmente trabaja como profesora de enseñanza secundaria y profesora asociada en la Facultad de Matemáticas de la UV. Durante cerca de 10 años ha participado y coordinado el proyecto Rutas Matemáticas que cada año desarrolla la Unitat de Cultura Científica i Innovació de la UV en colaboración con Al-Khwarizmi, la Sociedad de Profesores de Matemáticas de la Comunidad Valenciana. A lo largo de estos años, más de 10.000 estudiantes de la provincia de Valencia han participado en las rutas, disfrutando resolviendo problemas de matemáticas mientras visitan los lugares más emblemáticos de la ciudad. En el artículo “Ruta matemática porValencia. Vida más allá del currículo” María cuenta su experiencia durante estos años.
Os esperamos.
Problemas de traducción simple o compleja.
En el enunciado del problema aparece la información
necesaria para resolverlo y suele, implícitamente, indicar la estrategia a
seguir. Son los típicos de los textos escolares en los que el procedimiento de
solución se reduce a interpretar correctamente el problema, eligiendo el algoritmo
adecuado. Su objetivo es reforzar la comprensión de algunos conceptos y de las
habilidades de cálculo y, por ello, se colocan en las últimas páginas de cada
lección. Ayudarían a darle sentido de utilidad a las matemáticas.
Su aprendizaje se haría a partir de la repetición de los problemas tipos. Muchos autores cuestionamos que este tipo de actividad se puedan considerar como de "resolución de problemas". Si las primeras veces podría ser un problema, cuando se hacen varios se automatiza el procedimiento por lo que el resolutor termina actuando de manera mecánica (Schoenfeld, 1985, Blanco, 1983).Lo que lo convertiría en un ejercicio.
Son numerosos los factores personales, de contextos, de experiencia, afectivos, etc. que condicionan que una actividad pueda ser considerada como un verdadero problema, lo que nos lleva a afirmar que una tarea para un resolutor puede ser un problema y no para otro.
Seguimos con los ejercicios algorítmicos. Otras formas de presentarlos.
Dado que son ejercicios rutinarios, es muy importante variar la forma de presentación para encontrar elementos de motivación, sobre todo en los primeros niveles.
Las Matemáticas recreativas nos sugiere algunos ejemplos que permiten profundizar sobre la lógica interna de algunos algoritmos. En la época del confinamiento (primer semestre de 2020) publiqué en este blog algunos ejercicios de este tipo que puedes recuperar clickeando en la entrada 20/04/2020 o en la entrada 14/04/2020.
Igualdades curiosas. Otros ejercicios de Reconocimiento.
En esta entrada mostramos algunos procesos algorítmicos, aparentemente correctos, que llevan a resultados sorprendentes. Su análisis es una actividad que encuadramos en el grupo de los ejercicios de reconocimiento (Entrada2).
Estos resultados motivan, en algunos momentos, a los estudiantes a debatir y buscar alguna justificación lo que implica describir y analizar el proceso algorítmico en cada uno de sus pasos y comprender los conceptos sobre los que se apoya.
Os dejo algunos de ellos para que los trabajéis.
Son algunas igualdades curiosas que sugiere algún razonamiento erróneo, que pueden plantearse en todos los niveles.
Podéis aprovechar los comentarios de las entradas si tenéis algunas dudas o compartir alguna idea.
El hecho es que periódico se enteró y nos entrevistó a los dos. He recuperado la entrevista y la transcribo. La podéis leer clickeando en El País (06/11/2006).
Lunes,
13 de noviembre de 2006,
ELPAIS.es. Carmen Morán
Más.
Va el profesor y le dice
a sus alumnos: en el examen de matemáticas de mañana quiero que saquéis todos
una nota por encima de la media. "Hay gente que no se ríe porque no lo
coge, y eso es que algo falla en las matemáticas, porque para hallar una nota
media tiene que haber notas más altas y más bajas". Elemental, pero ¿quién
se había reído? O, bueno, ¿quién no se ha quedado con cara de circunstancias?
Humor y matemáticas, una
buena pareja, dicen los profesores. Si se sabe usar. Lorenzo Blanco, profesor
de Didáctica de las Matemáticas en la Universidad de Extremadura, el que
explica el chiste de arriba, organizó una exposición la semana pasada en
Badajoz con viñetas humorísticas que aludían a las matemáticas, como las que
ilustran este texto, por ejemplo. Los expertos en la didáctica de las
matemáticas, como él, están buscando fórmulas para que este maridaje se
traslade como experiencias pedagógicas en las aulas. El padre de la idea es
Pablo Flores, colega de Lorenzo Blanco, de la Universidad de Granada. En unos
pocos años, Flores ha coleccionado 2.000 viñetas humorísticas que utiliza de
diversos modos en las clases que imparte a los futuros maestros de matemáticas.
Cada día ojea seis periódicos y revistas en busca de más material humorístico
que llevar a sus clases.
Gracias al humor, explica
un docente, se puede crear un clima amable en clase.
"Con el humor se
puede crear, para empezar, un clima amable en clase y conseguir que se
entiendan algunas ideas que, de otra forma, serían más incomprensibles. Los
estudiosos del humor le conceden un valor de ruptura", dice.
Efectivamente, la
enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas necesita romper algunas barreras.
Es la materia ogro de las escuelas e institutos. Aunque el alumno sea
competente, con los números a veces se bloquea, precisamente porque desde
pequeños ya saben de la dificultad de esta asignatura, y ese conocimiento
produce un efecto psicológico que bloquea el cerebro de los estudiantes. No
consiguen romper la barrera. Dificultad añadida encuentran las alumnas, porque,
atendiendo a ese mismo factor psicológico, ellas han tenido que escuchar
siempre que es una materia más propia de chicos. Así pues, doble obstáculo para
ellas, una doble barrera que romper.
¿Podría el humor ayudar a
salvar alguno de estos inconvenientes? Los profesores de Didáctica de las
Matemáticas están convencidos de que puede contribuir a ello. "A veces
elijo una viñeta que haga alusión a la lección que estamos tratando. Les pido,
a partir de ella, que interpreten lo que ocurre en el dibujo con detalle, y
luego estudiamos los conceptos matemáticos implicados en ese pequeño cuadro de
humor gráfico", dice Pablo Flores.
Uno puede reírse con las
matemáticas. Es la primera lección que hay que aprender. Después, el profesor,
deberá sacar partido a una relación matemáticas-alumno desdramatizada. Flores
ha colocado a veces estas viñetas a modo de cartel en las aulas, para que los
alumnos las vean cada día y recuerden su enseñanza. Fue el caso de una imagen
de Moisés con las tablas de la ley, cuyo último mandamiento decía: "No
dividirás por cero". "Los alumnos que ven día tras día esa decoración
en clase no olvidarán una regla que es un mandamiento divino para las
matemáticas", asegura Flores.
Otras veces, este
profesor divide a sus alumnos, futuros maestros, por grupos. Elimina el mensaje
escrito en los globos de la viñeta y les pide que elaboren ellos mismos su
propio chiste a partir de las imágenes. Con ello consigue que reflexionen sobre
las matemáticas.
No es lo mismo trabajar
con alumnos de primaria o de secundaria, que con futuros maestros. A ellos les
están enseñando cómo deberán explicar esta difícil asignatura con el mayor
éxito posible. Con estos es fundamental abordar debates sobre la didáctica. Uno
de los ejemplos que pone Flores, es el uso o no de la calculadora en la clase.
Para ello acudió a la viñeta del gato filósofo, del humorista Geluk. El gato
tiene tres calculadoras por un lado, y otras dos por otro. Si las suma, le
salen cinco calculadoras en total, y después, coge una de ellas para comprobar
que el resultado obtenido es cierto. "Es una forma de activar el debate
sobre el cálculo con máquina, cómo este aparato puede servir para sumar de la
forma tradicional y para comprobar que lo hecho es correcto".
"Dios mío",
dicen otros dos personajes de cómic que miran un plano, "nos quedan ocho
millas para llegar". El segundo le responde: "Ya te dije que cogieras
un mapa más pequeño".
"Los chistes reflejan las enormes lagunas matemáticas que a veces encontramos en la gente de a pie, en la calle, son errores muy extendidos en la sociedad, que se transmiten de unos a otros, por eso este material didáctico es muy interesante".
Con él, seguro que todos los alumnos sacan una nota por encima de la media en el próximo examen de matemáticas.
Problemas y ejercicios. Ejercicios de reconocimiento.
La diferencia entre problemas y ejercicio aparece en los currículos y debiera estar clara, aunque la delimitación de cada vocablo pudiera presentarse a debate, como veremos en una entrada posterior. Podríamos asumir cierta coincidencia al aceptar que un ejercicio es una tarea mecanizada en la que existe un proceso algorítmico que conducirá, con certeza, a la solución. Hablar de problemas supone algunas características que veremos en otro momento y que puede verse en las referencias Blanco, (1983) y Blanco, Cárdenas, y Caballero, (2015) que mostrábamos en la entrada anterior.
En este caso vamos a distinguir dos clases de ejercicios (de Reconocimiento y de Repetición). En esta entrada y en la siguiente nos referiremos a los Ejercicios de Repetición.
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| Ejercicios de Reconocimiento (Blanco, 1993). |
El objetivo de los ejercicios de Reconocimiento es reconocer, recordar o resolver un factor específico, una definición o una proposición de un teorema. Son un tipo de ejercicios muy comunes en los libros de texto, donde se proponen con un formato muy reconocible.
Podemos proponer estos ejercicios con otro formato, a modo de reto o juego, al objeto de motivar a los resolutores, sobre todo en edad escolar.
En la figura siguiente mostramos unos cartones con algunas cantidades, que deben colocarse sobre un cartón más grande, en la que se muestran diferentes operaciones, en este caso referidas a raíces y potencias. Obviamente, la actividad puede hacerse de manera individual o a modo de juego en varios resolutores, y en referencia a un tipo de operación o a diversas operaciones que se deseen reconocer o recordar. Es muy fácil de hacer y sugiero implicar los estudiantes en su elaboración. De esta manera se sentirán más motivados e implicados.
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Diferentes formas de "hacer Matemáticas".
Iniciamos nuevas entradas numeradas con el título de "Clasificando las actividades matemáticas". Mostraremos diferentes tareas, aportando ejemplos y una pequeña explicación de algunas características que justificarían su inclusión en las tareas escolares.
El contenido de lo que mostramos se recoge, en gran medida, en las tres publicaciones realizadas al inicio de mi actividad profesional que completaré con algunas cuestiones más recientes:
Blanco, L. J. (1991). Conocimiento y acción en la enseñanza de las Matemáticas de Profesores de EGB y Estudiantes para Profesores. Servicio de publicaciones de la Universidad de Extremadura. Badajoz. Texto correspondiente de la Tesis Doctoral leída en la Universidad de Sevilla el 19 de octubre de 1990.
Blanco, L.J. (1993). Consideraciones elementales sobre la resolución de problemas. Univérsitas Editorial. Badajoz.
Blanco, L.J. (1993). Una clasificación de problemas matemáticos Epsilón nº 25. 49-60.
Las referencias a los problemas puede ampliarse en la publicación:
Blanco, L.J.; Cárdenas, J.A. y Caballero, A. (2015). La resolución de problemas de Matemáticas en la Formación Inicial de profesores de primaria. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Extremadura. Cáceres (España).
La clasificación base en la que se proponer en las tres primeras publicaciones, realizadas al inicio de mi actividad profesional.
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| Blanco, L.J. (1993). Consideraciones elementales sobre la resolución de problemas. Univérsitas Editorial. Badajoz. p. 40. |
En términos generales, seguiremos esta clasificación, con algunas actualizaciones:
1) Ejercicios de reconocimiento;
2) Ejercicios algorítmicos o de repetición;
3) Problemas de traducción simple o compleja;
4) Problemas de procesos;
5) Problemas sobre situaciones reales;
6) Problemas de investigación matemática;
7) Problemas de puzles;
8) Historias matemáticas.
Ninguna clasificación sobre problemas de matemática puede ser exhaustiva, estableciéndose siempre intersecciones entre los diversos apartados y apareciendo actividades de difícil catalogación, y todo esto por la enorme diversidad de problemas que pueden proponerse de diferentes niveles, contextos, formatos de presentación y contenidos diversos.
En cualquier acontecimiento coinciden tantas variables que es posible asociarlo a numerosas situaciones. Ello provoca que en algunas ocasiones se busquen explicaciones extrañas y cierto significado mágico.
También el número 2021 correspondiente a este nuevo año, que ya hemos iniciado según el calendario gregoriano, tiene algunas curiosidades matemáticas asociadas.
Así, por ejemplo tiene días capicúas. El segundo martes del año será un día capicúa, ya que podrá escribirse como el 12 del 1 del 21. Esto es, 12121. Claro que esto pasará los días 12 de casi todos los meses. Así, enero 12121; febrero 12221; marzo 12321; … septiembre 12921; octubre 121021, no es capicúa; noviembre 121121; diciembre 121221, no es capicúa.
Además, el 12 de febrero es doblemente capicúa puesto que es el 12/02/2021. Esto es 12022021.
2121 = 1111 + 1111 – 111 – 111 + 11 + 11 - 1
Es una actividad similar a la que aparecen en las entradas de este blog: Con cuatro cuatro; Del cero al 20 o Cuatro veces el número tres.
