Traducir una situación concreta al lenguaje algebraico. Errores frecuentes en la resolución de los problemas algebraicos.

 Traducir una situación concreta al lenguaje algebraico.

La traducción de una situación concreta o enunciado a una expresión numérica o algebraica no es inmediata. No basta con decirle a los resolutores eso de “lee con atención el problema”. En la actividad 1, de esta serie, señalábamos que “analizar los enunciados es una actividad compleja que va más allá de la simpe recomendación de que lean el texto con atención”.

Obviamente, el análisis de una situación concreta depende del nivel educativo, de la tarea propuesta, del formato de presentación elegido, de la experiencia, . . . pero, en todos los casos, se utilizan heurísticos o recomendaciones que son necesarios explicitar y experimentar de manera específica. Si queremos enseñar/aprender a resolver problemas tenemos que reflexionar sobre cada uno de los pasos a dar.

Dificultad de encontrar la expresión/ecuación adecuada.

Vamos a proponer un problema que implica una traducción de una situación concreta a una expresión algebraica y recomiendo que en vuestras aulas comprobéis la veracidad o no de lo que se dice en esta entrada.

“Escribe una ecuación usando las variables E y P para representar la siguiente afirmación: Hay seis veces tantos estudiantes como profesores en esta universidad. Representa con E el número de estudiantes y con P el de profesores” (Lochead y Mestre, 1988, 127).

La experiencia docente nos ha confirmado que muchos resolutores señalan “6 E = P” como la expresión correcta.

Algunos justifican la expresión “E = 6P”, pero son los menos.

Ello es así, a pesar de que todos los estudiantes entienden que lo usual es que haya más profesores que estudiantes en cualquier universidad.

El origen del error no está en la comprensión lectora del texto. Está en los procesos de traducción entre lenguaje escrito y el lenguaje algebraico que viene condicionado por la estructura del enunciado, capacidad de representación gráfica y simbólica de los resolutores y, en algunos casos, por el vocabulario utilizado.

En general, los resolutores hacen una lectura literal del texto para la traducción a la expresión algebraica. Una actuación mecánica, en cierto sentido, similar a la que se da en primaria al pensar que la palabra “más” significa que es un problema de sumar o la palabra “menos” indicaría uno de restar. Y no tiene porqué ser así.

En el problema mostrado y la resolución incorrecta señalada visualiza una lectura literal del texto.

Hay seis (6) veces tantos estudiantes (E) como profesores (P) en esta universidad.

6 E = P

 Que es lo que normalmente ellos han experimentado y desarrollan de manera mecánica porque están acostumbrado a ello.

100 centímetros equivalen a 1 metro

100 cm. = 1 m.

Este ejemplo y los siguientes en próximas entradas nos indican la dificultad de comprensión y uso del significado de las letras (“Profe, con números que con letras no me entero”). En general, utilizan las ‘letras como objeto’ y no como variables que representan el número de estudiantes y de profesores. Pero esto, para otra ocasión.

Para abordar estas cuestiones debemos recordar la diferenciación establecida por (Lochead y Mestre, 1988), al señalar tres niveles de com­prensión de los enunciados: comprensión cualitativa, comprensión cuanti­tativa y comprensión conceptual.

 

Os dejo un nuevo problema similar al anterior para que lo propongáis en el aula y que analizaremos en la siguiente entrada:

“Escribe una ecuación usando las variables Q y M para representar la siguiente afirmación: En un restaurante, por cuatro personas que piden tarta de queso (Q), hay cinco que la piden de manzana (M)” (Lochead y Mestre, 1988, 127).

 

Lochhead, J; Mestre, JP. From words to algebra: mending misconcepcions. En Coxford, AF; Shulte, AP (Eds.): The ideas of Algegra, K-12 (1988 y Yearbook). Reston, VA: NCTM, 1988 pp. 127-135.

Blanco, L.J. (2025). La resolución de problemas de matemáticas en la formación inicial de profesores de primaria. Servicio de publicaciones de la UEX. 

file:///C:/Users/lj-bl/Downloads/Blanco%20Nieto%20(2).pdf

 

Matemáticas, Arte y Creatividad. Día Internacional de las Matemáticas

Como celebración del Día Internacional de las Matemáticas he publicado en el diario HOY (13/03/2025) un artículo sobre la relación entre las matemáticas y el arte. Obviamente, dada la extensión del artículo sobre se dan breves pinceladas de esta relación.

Os dejo el texto y la imagen.

"En el tercer mes del año y en el día 14 (3,14) se celebra el Día Internacional de las Matemáticas, con el lema que da título a este artículo. Año tras año se quiere poner en valor la conexión de las matemáticas con distintos aspectos de nuestra vida en una propuesta más para ayudar a mirar nuestro entorno con ojos matemáticos.

Recordando los lemas utilizados por la International Mathematical Union (IMU) desde el año 2020 podríamos decir que “las matemáticas nos unen” (2022) y que “están en todas partes” (2020). Además, queremos “unas matemáticas para todos” (2023), que “ayuden a construir un mundo mejor” (2021).

Buscar la relación de las matemáticas con cualquier aspecto de nuestro entorno resulta ahora más fácil con una simple pesquisa en cualquier buscador de nuestro ordenador o teléfono. Más complicado, pero mucho más interesante es comprender y profundizar en esa relación para que nos resulte útil.

Dado el lema escogido este año voy a centrarme en la relación entre arte y matemáticas con referencia a algunos de los museos cercanos.

En primer lugar, por seguir un cierto orden cronológico, recordamos las magníficas estelas de guerrero mostradas en el Museo Arqueológico Provincial de Badajoz. En ellas, apreciamos que los carros tirados por caballos evidencian una falta de perspectiva, que en algunos casos pueden recordarnos a los dibujos infantiles cuando inician sus actividades pictóricas.

En este museo podemos apreciar el uso de las matemáticas que los autores de los mosaicos romanos debieron hacer tanto en su diseño como en la elección de la cantidad y tamaño de las numerosas teselas que necesitaban para su composición.

La evolución de la pintura está íntimamente ligada al desarrollo del conocimiento matemático. Es una obviedad señalar que nos movemos en tres dimensiones y dibujamos en una superficie de dos dimensiones (papel, lienzo, pared, …). La proyección de una imagen tridimensional al plano bidimensional manteniendo las distancias y profundidad entre los objetos o la proporcionalidad de su tamaño no es fácil. Ello constituyó un problema, artístico y de comunicación, que la matemática solucionó al desarrollar la perspectiva, los puntos de fuga, línea de horizonte, los ejes de coordenadas, etc. como conceptos y procesos técnicos a desarrollar, entre otros, por los pintores y arquitectos. El desarrollo del conocimiento científico y matemático es fruto de la experiencia y del estudio a lo largo de muchas civilizaciones. El papel de las matemáticas es formalizar este conocimiento y generalizarlo a otras situaciones posibles que, a su vez, generan nuevos contextos y problemas.

Es un ejemplo de cómo las matemáticas han ayudado al arte resolviendo un problema que se tenía cuando las imágenes que se realizaban no reflejaban correctamente las posiciones o tamaños de los objetos entre sí o parte de ellos. Esto que ahora llamamos genéricamente perspectiva nos permite apreciar las tres dimensiones, aunque la obra realizada sea bidimensional.

La elección del punto de fuga y la disposición de los ejes de coordenadas es lo que permite colocar los objetos a representar (personas, muebles, edificios, …) para que podamos observarlos de frente, desde un lado o desde arriba, dando lugar a tres tipos de perspectivas que requerirán procedimientos diferentes, aunque con la misma base matemática. Comprender estos procesos ayudó a evolucionar las pinturas que hoy podemos contemplar en el Museo de Bellas Artes o el Museo de la Catedral o en algunas de las múltiples exposiciones pictóricas de la Fundación CB. Es verdad que el arte es imaginación, creatividad y osadía, pero en toda composición subyace, explícita o implícitamente, el dominio del plano y del espacio que proporciona el conocimiento geométrico.

En otras ocasiones, las obras de los artistas evidencian conceptos matemáticos más o menos complejos. A este respecto, la obra de Ángel Duarte instalada en los exteriores del MEIAC refleja los paraboloides hiperbólicos, en una composición de varillas donde apreciar si son rectas o curvas o su longitud y posición relativa es un desafío y una curiosidad. Este mismo autor está representado en el Museo de Bellas Artes con la Colección Homenaje a Francisco de Zurbarán que, a través de sus siete cuadros, nos permite jugar con las formas y colores dándonos la posibilidad de realizar nuestras propias composiciones. He escogido este autor, pero otros muchos servirían para el mismo propósito.

Esta referencia al juego, me recuerda el lema de la IMU para el año 2024 que sugería “jugar con las matemáticas”. Desde la Fundación MECyT hemos propuesto unas actividades que iniciaremos el día 15 de marzo, en el Hospital Centro Vivo, en la que jugando con el Tangram los participantes podrán desarrollar su creatividad a partir de las composiciones que puedan crear con las piezas del tangram.

Sería bueno que en próximas convocatorias todo esto lo podamos analizar y difundir, más pausadamente y con medios suficiente, en la sede del Museo Extremeño para la Ciencia y la Tecnología."

Jugando con las Matemáticas.